Bài 2: Mặt cầu

I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU

1. Mặt cầu

Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng không đổi bằng \(r\left(r>0\right)\) được gọi là mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).

Kí hiệu: \(S\left(O;r\right)\) hay viết tắt là \(\left(S\right)\). 

Như vậy ta có mặt cầu \(S\left(O;r\right)=\left\{M|OM=r\right\}\).

- Nếu hai điểm \(C,D\) nằm trên mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) thì đoạn thẳng \(CD\) được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung \(AB\) đi qua tâm \(O\) của mặt cầu được gọi là đường kính của mặt cầu. Khi đó đường kính của mặt cầu bằng \(2r\).

2. Điểm nằm trong và điểm mặt ngoài mặt cầu. Khối cầu

Cho mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\) và một điểm \(A\) bất kì trong không gian.

- Nếu \(OA=r\) thì ta nói điểm \(A\) nằm trên mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) ;

- Nếu \(OA< r\) thì ta nói điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) ;

- Nếu \(OA>r\) thì ta nói điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(S\left(O;r\right)\).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) và các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).

3. Biểu diễn mặt cầu

Người ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn.

4. Đường kinh tuyến và đường vĩ tuyến của mặt cầu

Giao tuyến của mặt cầu với các mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu ; giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.

II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) và mặt phẳng \(\left(P\right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(mp\left(P\right)\). Khi đó \(h=OH\) là khoảng cách từ \(O\) đến \(mp\left(P\right)\).

1. Trường hợp \(h>r\)

Khi đó mặt phẳng \(\left(P\right)\) không có điểm chung với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\).

2. Trường hợp \(h=r\)

Khi đó mặt phẳng \(\left(P\right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\).

Điểm \(H\) gọi là tiếp điểm của mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) và mặt phẳng \(\left(P\right)\), mặt phẳng \(\left(P\right)\) được gọi là tiếp diện của mặt cầu.

Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng \(\left(P\right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\) là \(\left(P\right)\) vuông góc với bán kính \(OH\) tại \(H\).

3. Trường hợp \(h< r\)

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm \(H\), bán kính \(r'=\sqrt{r^2-h^2}\).

Mặt phẳng đi qua tâm \(O\) của mặt cầu được gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.

III. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU

Cho mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) và đường thẳng \(\Delta\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(\Delta\) và \(d=OH\) là khoảng cách từ \(O\) tới \(\Delta\).

1. Trường hợp \(d>r\)

 \(\Delta\) không cắt mặt cầu \(S\left(O;r\right)\).

2. Trường hợp \(d=r\)

Ta nói đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\).

Điểm \(H\) được gọi là điểm tiếp xúc (hay tiếp điểm) của \(\Delta\) và mặt cầu. Đường thẳng \(\Delta\) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\) là \(\Delta\) vuông góc với bán kính \(OH\) tại điểm \(H\) đó.

3. Trường hợp \(d< r\)

 Đường thẳng \(\Delta\) cắt mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại hai điểm \(M,N\) phân biệt.

Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng:

a) Qua một điểm \(A\) nằm trên mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính \(OA\) của mặt cầu tại \(A\) và đều nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(A\) đó.

b) Qua một điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh \(A\). Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ \(A\) đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.

IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

Mặt cầu bán kính \(r\) có diện tích là:

\(S=4\pi r^2\)

Khối cầu bán kính \(r\) có thể tích là:

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\)

Chú ý:

a) Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(r\) bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích \(V\) của mặt cầu bán kính \(r\) bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.