Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

1. PHÉP CHIA HẾT

Cho a, b ∈ \(\mathbb{Z}\) với b ≠ 0. Nếu có số nguyên sao cho a = bq thì ta có phép chia hết \(\text{a : b = q}\) (trong đó ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia và q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.

Chú ý. 

Dấu của thương:

• (+) : (+) → (+)
• (\(-\)) : (\(-\)) → (+)
• (+) : (\(-\)) → (\(-\))
• (\(-\)) : (+) → (\(-\))

Ví dụ 1.

a) 90 có chia hết cho - 18 không? Vì sao?

b) (- 56) có chia hết cho 7 không? Vì sao?

Giải:

a) 90 ⋮ (- 18) vì 90 = (- 18).(- 5). Ta có 90 : (- 18) = - 5.

b) (- 56) ⋮ 7 vì - 56 = 7.(- 8). Ta có (- 56) : 7 = - 8.

Nhận xét. Từ 90 : 18 =  5, ta suy ra được những phép chia hết sau:

90 : (- 18) = - 5; (- 90) : 18 = - 5; (- 90) : (- 18) = 5.

2. ƯỚC VÀ BỘI

Khi a ⋮ b (a, b ∈ \(\mathbb{Z}\), b ≠ 0), ta còn gọi a là một bội của b và b là một ước của a.

Chú ý. 

+) Nếu a là một bội của b thì - b cũng là một bội của b.

+) Nếu b là một ước của a thì - b cũng là một ước của a.

Ví dụ 1. 

a) - 24 là một bội của 4 vì (- 24) ⋮ 4;

b) - 7 là một ước của 56 vì 56 ⋮ (- 7).

Ví dụ 2. Tìm các ước của 6 và các ước của 9, từ đó tìm các ước chung của 6 và 9.

Giải:

• Các ước dương của 6 là 1; 2; 3; 6. Do đó tất cả các ước của 6 là: 1; - 1; 2; - 2; 3; - 3; 6; - 6.
• Các ước dương của 9 là 1; 3; 9. Do đó tất cả các ước của 9 là 1; - 1; 3; - 3; 9; - 9.

Các số 1; - 1; 3; - 3 vừa là ước của 6, vừa là ước của 9. Vậy ước chung của 6 và 9 là 1; - 1; 3; - 3.

Ví dụ 3. Tìm các bội của 5.

Giải:

Lần lượt nhân 5 với 0; 1; 2; 3; ..., ta được các bội dương của 5 là 0; 5; 10; 15; ... Do đó các bội của 5 là 0; 5; - 5; 10; - 10; 15; - 15; ...

Chú ý.

• Để tìm các ước của số nguyên a, ta tìm các ước dương của a cùng với các số đối của chúng.
• Để tìm các bội của số nguyên a, ta lần lượt nhân a với \(0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;...\)