Bài 12. Ước chung. Ước chung lớn nhất

1. Ước chung

• Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.
• Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

         x ∈ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x.

• Tương tự, tập hợp các ước chung của a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c).

         x ∈ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x.

Ví dụ 1. Ta có:

Ư(10) = {1; 2; 5; 10};           Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

 Các ước 1, 5 vừa là ước của 10, vừa là ước của 15. Ta nói 1, 2 là ước chung của 10 và 15 và viết ƯC(10, 15) = {1; 2}.

Cách tìm ước chung của hai số a và b:

• Viết tập hợp các ước của a và ước của b: Ư(a), Ư(b).
• Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

Ví dụ 2. Tìm ƯC(20, 28).

Giải:

• Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.
• Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}.

Do đó ƯC(20, 28) = {1; 2; 4}.

2. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tâp hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của và b là ƯCLN(a, b).

Tương tự, ước chung lớn nhất của a, b và c kí hiệu là ƯCLN(a, b, c).

Nhận xét: Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ 3. ƯC(50, 75) = {1; 5; 25} nên ƯCLN(50, 75) = 25, vì 25 là số lớn nhất trong số các ước chung của 50 và 75. Các ước chung của 50 và 75 là 1, 5, 25 đều là ước của 25.

ƯCLN(36, 40, 1) = 1.

Lưu ý: Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

Ví dụ 4. Một đoàn sinh viên tình nguyện gồm 32 nam và 24 nữ về các địa phương có hoàn cảnh khó khăn để giúp đỡ. Để dễ hoạt động trưởng đoàn chia đoàn thành từng nhóm sao cho số nam được chia đều vào các nhóm và số nữ cũng vậy. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu nhóm? Khi đó mỗi nhóm có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ?

Giải:

Số nhóm được chia phải là ước của 32 và 24. 

Số nhóm được chia phải là nhiều nhất có thể.

Vì vậy, số nhóm được chia là ước chung lớn nhất của 32 và 24.

Ta có ƯCLN(32, 24) = 8. Do đó cần chia đoàn thành 8 nhóm. 

Số bạn nam trong mỗi nhóm là 32 : 8 = 4 (bạn nam).

Số bạn nữ trong mỗi nhóm là 24 : 8 = 3 (bạn nữ).

Vậy mỗi nhóm có 4 nam và 3 nữ.

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ 5. Tìm ƯCLN(72, 90).

Giải:

• Phân tích 72 và 90 ra thừa số nguyên tố: 72 = 2³.3²; 90 = 2.3².5; 
• Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.
• Lập tích các thừa số chung vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó: 2.3².

Vậy ƯCLN (72, 90) = 2.3² = 18.

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.

Chẳng hạn, 12 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(12, 19) = 1.

4. Ứng dụng trong rút gọn phân số

Để rút gọn phân số \(\dfrac{54}{72}\), ta chia cả tử số và mẫu số cho một ước chung của 54 và 72 để được phân số mới. Tiếp tục quy trình đó đến khi không rút gọn được nữa, tức là đến khi tử số và mẫu số của chúng không có ước chung nào khác 1 (tử số và mẫu số là hai số nguyên tố cùng nhau). Khi đó, ta được một phân số tối giản.

\(\dfrac{54}{72}=\dfrac{54:2}{72:2}=\dfrac{27}{36}=\dfrac{27:3}{36:3}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{9:3}{12:3}=\dfrac{3}{4}\).

Chú ý: Để rút gọn một phân số, ta có thể chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ước chung lớn nhất của chúng để được phân số tối giản.