Bài 1. Phân số với tử và mẫu là số nguyên

I. KHÁI NIỆM PHÂN SỐ

• \(\dfrac{a}{b}\) là phân số nếu a ,b ∈ \(\mathbb{Z}\), b ≠ 0.
• Phân số \(\dfrac{a}{b}\) đọc là: a phần b, a là tử số (còn gọi tắt là tử), b là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).

Ví dụ 1: Viết và đọc phân số trong mỗi trường hợp sau:

a) Tử số là 15, mẫu số là -4;

b) Tử số là -3, mẫu số là -8.

Giải:

a) Viết là: \(\dfrac{15}{-4}\); đọc là mười lăm phần âm bốn.

b) Viết là: \(\dfrac{-3}{-8}\); đọc là âm ba phần âm tám.

Mọi số nguyên a có thể viết ở dạng phân số là \(\dfrac{a}{1}\).

Ví dụ 2:  Ta có thể viết:

+)  \(-10=\dfrac{-10}{1}.\)

+) \(0=\dfrac{0}{1}\).

II. PHÂN SỐ BẰNG NHAU

1. Khái niệm hai phân số bằng nhau

Ta thấy \(\dfrac{1}{4}\) hình vuông bằng \(\dfrac{2}{8}\) hình vuông. Do đó: \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}.\)

Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.

2. Quy tắc bằng nhau của hai phân số

Xét hai phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\).

Nếu \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{c}{d}\) thì a.d = b.c. Ngược lại, nếu a.d = b.c thì \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{c}{d}\).

Ví dụ: 

1) Hai phân số \(\dfrac{-4}{5}\) và \(\dfrac{4}{-5}\) bằng nhau vì \(\left(-4\right).\left(-5\right)=4.5.\)

2) Hai phân số \(\dfrac{3}{8}\) và \(\dfrac{-6}{11}\) không bằng nhau vì \(3.\left(-11\right)\ne\left(-6\right).8.\)

Với a, b là hai số nguyên và b ≠ 0, ta luôn có:

\(\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}\); \(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}.\)

III. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ

1. Tính chất cơ bản

• Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a.m}{b.m}\) với \(m\in\) \(\mathbb{Z}\), \(m\ne0.\)

• Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:n}{b:n}\) với \(n\in\) ƯC(a; b).

​Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.

Ví dụ:

Các phân số \(\dfrac{15}{-4}\) và \(\dfrac{-3}{-8}\)  có thể đưa về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương bằng cách sau:

\(\dfrac{15}{-4}=\dfrac{15.\left(-1\right)}{\left(-4\right).\left(-1\right)}=\dfrac{-15}{4}\) (theo tính chất cơ bản của phân số).

\(\dfrac{-3}{-8}=\dfrac{\left(-3\right).\left(-1\right)}{\left(-8\right).\left(-1\right)}=\dfrac{3}{8}\) (theo tính chất cơ bản của phân số).

2. Rút gọn về phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. 

Để rút gọn phân số về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1. Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ đi dấu " - " (nếu có)

Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Ví dụ: Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản:

a) \(\dfrac{12}{-18}\);                                   b) \(\dfrac{-15}{48}.\)

Giải:

a) Ta có ƯCLN(12; 18) = 6. Do đó: \(\dfrac{12}{-18}=\dfrac{12:6}{\left(-18\right):6}=\dfrac{2}{-3}.\)

b) Ta có ƯCLN(15; 48) = 3. Do đó: \(\dfrac{-15}{48}=\dfrac{\left(-15\right):3}{48:3}=\dfrac{-5}{16}.\)

3. Quy đồng mẫu nhiều phân số 

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số ta có thể quy đồng mẫu nhiều phân số có tử và mẫu là số nguyên.

Để quy đồng mẫu nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1. Viết các phân số đã cho về phân số có mẫu dương. Tìm BCNN của các mẫu dương đó để làm mẫu chung

Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)

Bước 3. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu phân số sau: \(\dfrac{-3}{4};\dfrac{1}{-5}.\)

Giải:

a) Bước 1. 

• Viết các phân số đã cho về phân số có mẫu dương: \(\dfrac{1}{-5}=\dfrac{-1}{5}.\)
• Tìm BCNN của các mẫu dương đó để làm mẫu chung: BCNN(4; 5) = 20.

b) Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu

• 20 : 4 = 5
• 20 : 5 = 4.

c) Bước 3. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

• \(\dfrac{-3}{4}=\dfrac{\left(-3\right).5}{4.5}=\dfrac{-15}{20}.\)
• \(\dfrac{1}{-5}=\dfrac{-1}{5}=\dfrac{\left(-1\right).4}{5.4}=\dfrac{-4}{20}.\)