Nội dung lý thuyết
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Đa thức là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Chú ý:
+ Mỗi đơn thức cũng được gọi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).
+ Số 0 được gọi là đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.
Ví dụ 1: Cho các biểu thức sau:
-3a; 2xy + 3y; \(\dfrac{1}{2}x^2y\); \(\sqrt{3}\); \(\sqrt{x+2y}\).
Trong các biểu thức trên, hãy chỉ ra
a) Các đơn thức;
b) Các đa thức và số hạng tử của chúng.
Hướng dẫn giải
a) Các đơn thức là: -3a; 2xy + 3y; \(\dfrac{1}{2}x^2y\) và \(\sqrt{3}\).
b) Đa thức là 2xy + 3y có hai hạng tử là 2xy và 3y.
Còn biểu thức \(\sqrt{x+2y}\) không phải là đa thức và cũng không phải là đơn thức.
Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức tại x = 2 và y = -1.
a) 6xy2; b) \(x^2+4xy+4y^2\).
Hướng dẫn giải
a) Thay x = 2 và y = -1 vào đơn thức 6xy2 ta được
6. 2. (-1)2 = 12.
b) Ta có \(x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2\).
Thay x = 2 và y = -1 vào đa thức \((x+2y)^2\) ta được
\([2+2.(-1)]^2=0\).
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Thừa số là một số nói trên được gọi là hệ số, tích của các thừa số còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.
Chú ý
a) Tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức (có hệ số khác 0) gọi là bậc của đơn thức đó.
b) Ta coi một số khác 0 là đơn thức thu gọn, có hệ số bằng chính số đó và có bậc bằng 0.
c) Đơn thức không (số 0) không có bậc.
d) Khi viết đơn thức thu gọn ta thường viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo bảng thứ tự bảng chữ cái.
Ví dụ 3: Cho các đơn thức \(3x^2yz\); \(-2xy\); \(-\sqrt{2}x\); \(\dfrac{-1}{3}xyx^3\).
a) Đơn thức nào sau đây là đơn thức thu gọn?
Hãy chỉ ra bậc và hệ số của mỗi đơn thức đó.
b) Hãy thu gọn các đơn thức còn lại.
Hướng dẫn giải
a) Các đơn thức thu gọn là: \(3x^2yz\); \(-2xy\); \(-\sqrt{2}x\).
Đơn thức \(3x^2yz\) có hệ số bằng 3, bậc bằng 4.
Đơn thức \(-2xy\) có hệ số bằng -2, bậc bằng 2.
Đơn thức \(-\sqrt{2}x\) có hệ số bằng \(-\sqrt{2}\), bậc bằng 1.
b) Thu gọn
\(\dfrac{-1}{3}xyx^3=\dfrac{-1}{3}(x.x^3).y=\dfrac{-1}{3}x^4y.\)
Chú ý:
+ Để thu gọn một đơn thức, ta nhóm các thừa số là các số rồi tính tích của chúng, nhóm các thừa số cùng một biến rồi viết tích của chúng thành lũy thừa của biến đó.
+ Từ nay, khi nói đến đơn thức, nếu không nói gì thêm, ta hiểu đó là đơn thức thu gọn.
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Để cộng, trừ (hay tìm tổng, hiệu) của hai đơn thức đồng dạng, ta cộng hoặc trừ hệ số của chúng rồi giữ nguyên phần biến.
Ví dụ 4: Tính
a) xy + (-6xy);
b) \(2xy^2z-3xy^2z\).
Hướng dẫn giải
a) xy + (-6xy) = [1 + (-6)]xy = -5xy.
b) \(2xy^2z-3xy^2z=(2-3)xy^2z=-xy^2z\).
Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.
Chú ý
+ Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn là thu gọn đa thức đó.
+ Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.
+ Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.
Ví dụ 5: Thu gọn và tìm bậc của đa thức \(A=x^2+y^2-xy-x^2+3xy\).
\(A=x^2+y^2-xy-x^2+3xy\)
\(A=x^2+y^2-xy-x^2+3xy\\ A=(x^2-x^2)+y^2+(-xy+3xy)\\ A=y^2+2xy.\)
Bậc của đa thức A là bậc 2.