Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. Mặt phẳng

Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước đang yên lặng,... cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

Ví dụ: mặt phẳng \(\left(P\right)\), mặt phẳng \(\left(Q\right)\), mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\), mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) hoặc viết tắt là \(mp\left(P\right)\), \(mp\left(Q\right)\), \(mp\left(\alpha\right)\), \(mp\left(\beta\right)\) hoặc \(\left(P\right)\), \(\left(Q\right)\), \(\left(\alpha\right)\), \(\left(\beta\right)\),...

2. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\).

Khi điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) ta nói \(A\) nằm trên \(\left(\alpha\right)\) hay \(\left(\alpha\right)\) chứa \(A\), hay \(\left(\alpha\right)\) đi qua \(A\) và được kí hiệu là \(A\in\left(\alpha\right)\).

Khi điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) ta nói điểm \(A\) nằm ngoài \(\left(\alpha\right)\) hay \(\left(\alpha\right)\) không chứa \(A\) và được kí hiệu là \(A\notin\left(\alpha\right)\).

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, \(A\in\left(\alpha\right)\) còn \(B\notin\left(\alpha\right)\):

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian.

- Hình biểu diễn của một hình lập phương:

- Hình biểu diễn của một hình chóp tam giác:

Để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian, ta dựa vào các quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.

II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN

Tính chất 1:

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Như vậy một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\) là mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) hoặc \(mp\left(ABC\right)\) hoặc \(\left(ABC\right)\).

Tính chất 3:

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng \(d\) đều thuộc mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) thì ta nói đường thẳng \(d\) nằm trong \(\left(\alpha\right)\) hay \(\left(\alpha\right)\) chứa \(d\) và kí hiệu là \(d\subset\left(\alpha\right)\) hay \(\left(\alpha\right)\supset d\).

Tính chất 4:

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.

Tính chất 5:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

Đường thẳng \(d\) chung của hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) được gọi là giao tuyến của \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) và kí hiệu là \(d=\left(\alpha\right)\cap\left(\beta\right)\).

Tính chất 6: 

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

III. CÁC XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG

1. Ba cách xác định mặt phẳng

a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(A\notin d\). Khi đó điểm \(A\) và đường thẳng \(d\) xác định một mặt phẳng, kí hiệu là \(mp\left(A,d\right)\) hay \(mp\left(d,A\right)\) hay \(\left(d,A\right)\).

c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\). Khi đó hai đường thẳng \(a\) và \(b\) xác định một mặt phẳng, kí hiệu là \(mp\left(a,b\right)\) hay \(\left(a,b\right)\), hoặc \(mp\left(b,a\right)\) hay \(\left(b,a\right)\).

2. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho bốn điểm không đồng phẳng \(A,B,C,D\). Trên hai đoạn \(AB\) và \(AC\) lấy hai điểm \(M,N\) sao cho \(\dfrac{AM}{BM}=1\) và \(\dfrac{AN}{CN}=2\). Hãy xác định giao tuyến của mp\(\left(DMN\right)\) với các mặt phẳng \(\left(ABC\right)\), \(\left(ACD\right)\), \(\left(ABD\right)\), \(\left(BCD\right)\).

Giải:

Điểm \(D\) và điểm \(M\) cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left(DMN\right)\) và \(\left(ABD\right)\) nên \(DM=\left(DMN\right)\cap\left(ABD\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(DN=\left(DMN\right)\cap\left(ACD\right)\) ; \(MN=\left(DMN\right)\cap\left(ABC\right)\)

Trong mặt phẳng \(\left(ABC\right)\), vì \(\dfrac{AM}{BM}\ne\dfrac{AN}{CN}\) nên hai đường thẳng \(MN\) và \(BC\) cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là \(E\).

Do \(D,E\) cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left(DMN\right)\) và \(\left(BCD\right)\) nên \(DE=\left(DMN\right)\cap\left(BCD\right)\).

Nhận xét: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.

Ví dụ 2: Cho bốn điểm không thẳng hàng \(A,B,C,D\). Trên ba cạnh \(AB,AC,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M,N,K\) sao cho \(MN\) cắt \(BC\) tại \(H\), \(NK\) cắt \(CD\) tại \(I\), \(KM\) cắt \(BD\) tại \(J\). Chứng minh ba điểm \(H,I,J\) thẳng hàng.

Giải:

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}J\in MK\\MK\subset\left(MNK\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow J\in\left(MNK\right)\) và \(\left\{{}\begin{matrix}J\in BD\\BD\subset\left(BCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow J\in\left(BCD\right)\)

Suy ra \(J\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left(MNK\right)\) và \(\left(BCD\right)\).

Tương tự ta chứng minh được \(I,H\) cũng là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left(MNK\right)\) và \(\left(BCD\right)\).

Vậy \(H,I,J\) cùng thuộc giao tuyến của hai mp \(\left(MNK\right)\) và \(\left(BCD\right)\)

Nên \(H,I,J\) thẳng hàng.

Nhận xét:  Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

Ví dụ 3: Cho tam giác \(BCD\) và điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \(\left(BCD\right)\). Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn \(AD\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(GK\) với mặt phẳng \(\left(BCD\right)\).

Giải:

 Gọi \(J=AG\cap BC\)

Trong \(mp\left(AJD\right)\), \(\dfrac{AG}{AJ}=\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{1}{2}\) nên \(GK\) và \(JD\) cắt nhau. Gọi \(L=GK\cap JD\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}L\in JD\\JD\subset\left(BCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow L\in\left(BCD\right)\)

Vậy \(L\) là giao điểm của \(GK\) và mp\(\left(BCD\right)\).

IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

1. Trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\), cho đa giác lồi \(A_1A_2...A_n\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài \(\left(\alpha\right)\). Lần lượt nối \(S\) với các điểm \(A_1,A_2,...,A_n\) ta được \(n\) tam giác \(SA_1A_2\), \(SA_2A_3\),..., \(SA_nA_1\). Hình gồm đa giác \(A_1A_2...A_n\) và \(n\) tam giác \(SA_1A_2\), \(SA_2A_3\),..., \(SA_nA_1\) gọi là hình chóp, kí hiệu là \(S.A_1A_2...A_n\).

Ta gọi \(S\) là đỉnh; đa giác \(A_1A_2...A_n\) là mặt đáy; các tam giác \(SA_1A_2\), \(SA_2A_3\), ..., \(SA_nA_1\) là các mặt bên; các đoạn \(SA_1,SA_2,...SA_n\) là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy là các cạnh đáy. 

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,... lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,...

2. Cho bốn điểm không đồng phẳng \(A,B,C,D\). HÌnh gồm bốn tam giác \(ABC,ABD,ACD,BCD\) gọi là hình tứ diện (hay gọi ngắn là tứ diện) và được kí hiệu là \(ABCD\). Các điểm \(A,B,C,D\) gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn \(AB,BC,CD,DA\) là các cạnh của tứ diện, Hai cạnh không đi qua một điểm gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác \(ABC,ABD,ACD,BCD\) gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt của tứ diện gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Chú ý:

+) Khi nói đến đa giác ta có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh của đa giác và các điểm trong đa giác đó.

+) Thiết diện hay mặt cắt của hình \(\left(H\right)\) khi cắt bởi mp\(\left(\alpha\right)\) là phần chung của \(\left(H\right)\) và \(\left(\alpha\right)\).