Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\), đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},b=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\). CMR: Với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài, S_n là số nguyên.

Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\) đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\), \(b=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\)

CMR với \(n\ge1\) ta có \(S_n-2=\left[\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right]^2\)

Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\)

Đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) và \(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

CMR với \(n\ge1\) ta có \(S_n-2=\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right]^2\)

Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\), đặt \(S_n=a^n+b^n\), với \(a=\frac{3+\sqrt{5}}{2};b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

 CMR: với \(n\le1\), ta có \(S_{n+2}=\left(a+b\right)\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-ab\left(a^n+b^n\right)\)

Cho biểu thức A = \(\sqrt{1+\sqrt{x}}^n + \sqrt{1-\sqrt{x}}^n\)với x, n là nguyên dương

Chứng minh rằng A là số nguyên với mọi giá trị của n thỏa mãn điều kiện

tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn

\(\sqrt{\dfrac{19}{A+B-C}}+\sqrt{\dfrac{5}{B+C-A}}+\sqrt{\dfrac{79}{B+C-A}}\in N\ne1\)

Với mỗi số nguyên dương n≤2008Đặt Sn an bn với a 3 √52 và b 3−√52 CMR với n≥1 ta có Sn−2 √5 12 n− √5−12 n 2

Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)