Bài này hay phết: Theo mik bạn nên thêm ĐK: x;y;z đồng thời khác 0.

Có \(2x^3=3y^3=4z^3\\ \)

Mong đề bài của bạn ko thiếu

Hình như thiếu ĐK\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\\ \)

Đề bài sai/thiếu

Ví dụ: \(x=y=z=0\) thì \(2x^3=3y^3=4z^3\) nhưng \(\dfrac{\sqrt[3]{2x^2+3y^2+4z^2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=0\)

Nếu thêm điều kiện \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) (với \(x;y;z\ne0\))

Đặt \(2x^3=3y^3=4z^3=k^3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{k}{\sqrt[3]{2}}\\y=\dfrac{k}{\sqrt[3]{3}}\\z=\dfrac{k}{\sqrt[3]{4}}\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\Rightarrow\dfrac{\sqrt[3]{2}}{k}+\dfrac{\sqrt[3]{3}}{k}+\dfrac{\sqrt[3]{4}}{k}=1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}=k\) 

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3=k^3\Rightarrow2x^2=\dfrac{k^3}{x}\\3y^3=k^3\Rightarrow3y^2=\dfrac{k^3}{y}\\4z^3=k^3\Rightarrow4z^2=\dfrac{k^3}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2x^2+3y^2+4z^2=k^3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=k^3\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt[3]{2x^2+3y^2+4z^2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{k^3}}{k}=1\)