Bài 1:

Không mất tổng quát giả sử $AB< AC$

Gọi $AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$. Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BC}{CH}=\frac{AB+AC}{AC}$

Ta có:

$\frac{HN}{HC}=\frac{BN-BH}{HC}=\frac{BN}{HC}-\frac{BH}{HC}=\frac{BC}{2HC}-\frac{BH}{HC}=\frac{AB+AC}{2AC}-\frac{AB}{AC}$

$=\frac{AC-AB}{2AC}=\frac{AC-CD}{2AC}=\frac{AD}{2AC}=\frac{AM}{AC}$

Theo định lý Talet đảo suy ra $MN\parallel AH$

Ta có đpcm.

Hình vẽ 1:

2. 

Áp dụng định lý Menelaus với tam giác $AMC$ có $B,I,E$ thẳng hàng ta có:

$\frac{AE}{EC}.\frac{IM}{AI}.\frac{BC}{BM}=1$

$\Leftrightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{AI}{2IM}$

$\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AI}{AI+2IM}$

$\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AI+2IM}{AI}(1)$Lại áp dụng tính chất tia phân giác và định lý Talet:

$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}=\frac{CM+DM}{BD}=\frac{BM+DM}{BD}$

$=\frac{BM}{BD}+\frac{DM}{BD}=\frac{AM}{AI}+\frac{IM}{AI}=\frac{AM+IM}{AI}=\frac{AI+2IM}{AI}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AE}$

$\Rightarrow AB=AE$ (đpcm)

Mình vẽ hình trước:

MMỉm đang cần rất gấp  giúp mỉm với

  a) Do MN // AB (gt)

⇒ MN // AE

Do ME // AC (gt)

⇒ ME // AN

Do AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ AM là tia phân giác của ∠EAN

Xét tứ giác AEMN có:

MN // AE (cmt)

ME // AN (cmt)

⇒ AEMN là hình bình hành

Mà AM là tia phân giác của ∠EAN (cmt)

⇒ AEMN là hình thoi

b) Do D là điểm đối xứng của M qua N (gt)

⇒ N là trung điểm của DM

∆ABC cân tại A có AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ AM cũng là đường trung trực của ∆ABC

⇒ M là trung điểm của BC

∆ABC có:

M là trung điểm của BC (cmt)

MN // AB (gt)

⇒ N là trung điểm của AC

Tứ giác ADCM có:

N là trung điểm của DM (cmt)

N là trung điểm của AC (cmt)

⇒ ADCM là hình bình hành

⇒ AD // CM

⇒ AD // BM

Do MN // AB (gt)

⇒ MD // AB

Tứ giác ADMB có:

MD // AB (cmt)

AD // BM (cmt)

⇒ ADMB là hình bình hành