Có 5 số, và 3 số dư khi chia cho 3 là 0;1;2 
Nếu có 3,4 hay 5 số mà có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 trong số đó chia hết cho 3. 
Nếu có ít hơn 3 nghĩa là nhiều nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì trong 5 số đó cùng tồn tại các số chia 3 dư 0;1;2 nên tổng 3 số có số dư khi chia cho 3 khác nhau sẽ chia hết cho 3. 
Do đó trong 5 số nguyên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.

gọi 5 số bất kì là a1,a2,a3,a4,a5

theo dirichle tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3

TH1 : có ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3

TH2 :chỉ có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 

nếu r=0 thì a1+a3+a5 chia hết cho 3

nếu r=1 thì a3=3k+2 or a3=3k nên a1+a3+a5 chia hết cho 3

tương tự với r=2

Gọi 5 số bất kì là a1,a2,a3,a4,a5

Theo dirichle tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3

=> Ta có 2 TH:

+ TH1 : Có ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3

+ TH2 : Chỉ có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 

Giả sử a1 ≡ a2 ≡ r(mod3) ; a3 ≡ a4(mod3) ≡ a2 ≡ r(mod3) ; a3 ≡ a4(mod3)

+ Nếu r = 0 thì a1 + a3 + a5 chia hết cho 3

+ Nếu r = 1 thì a3 = 3k+2 hoặc a3 = 3k nên a1 + a3 + a5 chia hết cho 3

Bạn làm tương tự như vậy với TH r = 2 nhé

Gọi 5 số tự lần lượt là a₁;a₂;a₃;a₄;a₅

≡a2≡r(mod3);a3≡a4(mod3)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">≡a2≡r(mod3);a3≡a4(mod3)

nếu r=0 thì a1+a3+a5 chia hết cho 3

nếu r=1 thì a3=3k+2 or a3=3k nên a1+a3+a5 chia hết cho 3

tương tự với r=2

Bài 1

6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 6 thì xảy ra 6 trường hợp về số dư (0;1;2;3;4;5), còn 1 số kia thì cũng có thể xảy ra 1 trong 6 trường hợp

Số này nếu trừ cho 1 trong 6 số kia thì chắc chắn có 1 số thỏa mãn

Bài 2

5 số tự nhiên liên tiêp này chia cho 5 cũng xảy ra 5 th về dư, chứng minh tương tự bài 1. Bạn cố gắng dùng từ hay hơn nha

bạn bấm vào đúng 0 sẽ ra kết quả 

mình làm bài này rồi

Do các số chia 3 chỉ có thể có các số dư là 0,1,2

Giả sử không có số nào (hoặc bộ vài số nào) có tổng chia hết cho 3

Do các số đều ko chia hết cho 3 nên chúng chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc 2

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 5 số luôn có ít nhất \(\left[\dfrac{5}{2}\right]+1=3\) số có cùng số dư khi chia 3

Giả sử bộ 3 số cùng số dư khi chia 3 là \(a_1;a_2;a_3\Rightarrow a_1+a_2+a_3⋮3\) (mâu thuẫn giả thiết ko có bộ số nào chia hết cho 3)

Vậy điều giả sử là sai hay luôn có 1 hoặc vài số có tổng chia hết cho 3

vì cứ 3 số tự nhên liên tiế lại có 1 số chia hết cho 3 viết dưới dạng 3a(a>0), 1 số chia 3 dư 1 viết dướng dạng 3a-11 và 1 số chia 3 dư 2 viết dưới dạng 3a-2

vậy ta có tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là: 3a+3a-1+3a-2=9a-3 luôn chia hết cho 3