Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

oaa cha cha :V mới đọc BĐT kiểu dạng này xong :P

Mình sẽ giải theo hai cách nhé :P

C1 : Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :

\(\dfrac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) Ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{ab}\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)

C2 : Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(a+b\ge2ab\) ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2+2\sqrt{1}=4\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b.

vì a,b>0, áp dụng bđt cô si ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)

nhân với nhau ta có

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

a, Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\left(k\ne0\right)\Rightarrow a=kb;c=kd\)

Thay:

\(\frac{ab}{cd}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{b^2\left(k+1\right)^2}{d^2\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\)

=> đpcm

a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>\(a^2+b^2-2ab\ge0\left(đpcm\right)\)

b) \(\left(a+b\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+2ab\ge0\)

<=> \(a^2+b^2\ge-2ab\)

<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) (đpcm)

c) ta có: \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a+1\)

\(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)

Vậy từ 2 điều trên => \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\) (*)

<=>m² - 2m +1 +n² - 2n +1 \(\ge0\)

<=> \(\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (1)

(1) đúng => (*) đúng

d) Bạn ấy giải rồi ,mình không giải nữa

e) Theo BĐT cauchy ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+1\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\) (đpcm)

Vậy..........

Bài 1:

dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .

Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)

Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)

\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf

...........

2) Ta có nhận xét sau: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel và AM-GM, ta có:

\(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{34}{ab}+2ab\)

\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{34}{ab}+544ab-542ab\)

\(A\ge4+4+2\sqrt{\dfrac{34}{ab}.544ab}-542.\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(A\ge8+272-\dfrac{271}{2}=144,5\)

GTNN của A là 144,5 khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:
Do $a>b$ nên $a-b>0$

Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương ta có:

\(a+\frac{1}{b(a-b)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}.\frac{a-b}{2}.b.\frac{1}{b(a-b)^2}}\)

\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b=\frac{1}{b(a-b)^2}\Leftrightarrow a=3\sqrt{\frac{1}{2}}; b=\sqrt{\frac{1}{2}}\)