Tìm \(p\in P\)để \(2p^2-1\)\(;\)\(2p^2+3\)\(;\)\(3p^2+4\)đều là số nguyên tố
a)Tìm \(n\in N,n\ne0\) để \(2^n+1\) là số chính phương.
b) Tìm số nguyên tố p để \(2p+2\) và \(2p^2+2\)là số chính phương
Giúp mình trong tối nay với ạ
Tìm p \(\in Z\)để p2 +2p +5 chia hết cho p+4
Tìm p nguyên tố để 2p2 - 1, 2p2 + 3 và 3p2 + 4 là các số nguyên tố.
Gửi bạn nhé, bài này mình đã làm rồi , chúc bạn học tốt !
p2p2 là số chính phương nên p2p2 chia 7 dư 0,1,2 hoặc 4
- Nếu p2⋮7p2⋮7 thì p⋮7⇒p=7p⋮7⇒p=7 , thay vào thỏa mãn
-Nếu p2p2 chia 7 dư 1 thì 3p2+43p2+4 ⋮7⇒⋮7⇒ trái với đề bài
- Nếu p2p2 chia 7 dư 2 3p2+1⋮7⇒3p2+1⋮7⇒ vô lí
-Nếu p2p2 chia 7 dư 4 2p2−1⋮7⇒2p2−1⋮7⇒ vô lí
Vậy p=7
Xét với p=2 suy ra 3p2+4 = 3.4+4=16 ( 16 là hợp số) nên p=2 (loại)
Với p=3 suy ra 2p 2+3=2.9+3=21 ( 21 là hợp số) nên p = 3 ( loại)
Với p = 5 suy ra 2p2-1=2.25-1=49 ( 49 là hợp số ) nên p = 5 (loại)
Với p = 7 suy ra 2p2-1=2.49-1=97 (là số nguyên tố)
2p 2+3= = 2.49 + 3 = 101(là số nguyên tố)
3p2+4 =3.49+4=151 (là số nguyên tố)
p = 7( thỏa mãn)
Với p > 7: Xét các trường hợp
+ p=7k+1 suy ra 3p2 +4 = 147k2+42k+7 chia hết cho 7 và 147k2+42k+7 > 7 nên 3p2 +4 là hợp số
+ p=7k+2 (các bạn tự thay vào nhé)
+p=7k+3
+ p=7k + 4
p=7k + 5
+ p = 7k+6
Vậy p=7
tìm số nguyên tố p để 2p^2+1 củng là số nguyên tố?
+)Xét TH: p=2
=>2p2 +1=9 (ko là số ntố, loại)
+)Xét TH:p=3
=>2p2+1=19 (là số ntố, chon)
+)Xét TH: p>3 =>p có 1 trong 2 dạng 3k+1 hoặc 3k+2
p=3k+1 =>2p2+1=2.(3k+1)2+1=2.(9k2+6k+1)+1=18k2+12k+2+1
=3.(6k2+4k+1) chia hết cho 3 , mà 2p2+1 >3 (vì p>3)
=>2p2+1 là hợp số(loại)
p=3k+2=>2p2+1=2.(3k+2)2+1=2.(9k2+12k+4)+1
=18k2+24k+8+1= 3.(6k2+8k+3) chia hết cho 3 (là hợp số vì 2p2+1>0,loại)
Vậy p=3 thì 2p2+1 là số ntố
+Xét p=3 => 2p^2+1=19 ( tm)
+Xét p>3 vì p là SNT => P có 1 trong 2 dạng : 3k+1 hoặc 3k+2
+p=3k+1 => \(2p^2+1\)\(=2.\left(3k+1\right)^2+1\)=\(2.\left(9k^2+6k+1\right)+1\\ =18k^2+12k+3\)
=> với p=3k+1 thi 2p^2+1 là Hợp số
tương tự p=3k+2 cũng thế
Tìm số nguyên tố p để 2p2+1 cũng là số nguyên tố
\(p=3\Rightarrow2p^2+1=19\)
Nhẩm nhẩm một chút là ra đó bạn
Cái này lớp 6 chứ
Tính giá trị biểu thức
(2^2)^2 - (-3^3)^2 -(-5^2)^2
Tìm p\(\in\)Z để p2+2p+5 \(⋮\)p+4
1. Cho \(a,b,c\in Z\), \(a^3+b^3+c^3⋮9\). CMR abc⋮3
2. Tìm p nguyên tố để 2p+1 là lập phương 1 số tự nhiên
3. tìm p, q là các số nguyên tố phân biệt sao cho \(p+q=\left(p-q\right)^3\)
câu 2:
Với p=2→2p+1=5p=2→2p+1=5 không là lập phương 11 số tự nhiên
→p=2→p=2 loại
→p>2→(p,2)=1→p>2→(p,2)=1
Đặt 2p+1=(2k+1)3,k∈N2p+1=(2k+1)3,k∈N vì 2p+12p+1 lẻ
→2p=(2k+1)3−1→2p=(2k+1)3−1
→2p=(2k+1−1)((2k+1)2+(2k+1)+1)→2p=(2k+1−1)((2k+1)2+(2k+1)+1)
→2p=2k(4k2+6k+3)→2p=2k(4k2+6k+3)
→p=k(4k2+6k+3)→p=k(4k2+6k+3)
Vì pp là số nguyên tố, 4k2+6k+3>k4k2+6k+3>k
→k=1→k=1 và 4k2+6k+34k2+6k+3 là số nguyên tố
→4k2+6k+3=13→4k2+6k+3=13 (Khi k=1k=1) là số nguyên tố
→k=1→k=1 chọn
→2p+1=27→2p+1=27
→p=13
câu 3: p−qp−q chia hết cho 2 suy ra q=k.(2k−1)(2k+1)q=k.(2k−1)(2k+1)
Do vậy qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 suy ra vô lý vì nó là nguyên tố.
Suy ra q=3,p=5q=3,p=5 Thỏa mãn
TH2: p−q−1=2tp−q−1=2t nên t=0t=0 vì nếu không thì p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2 thay vào đề loại.
TH3: q=(2m−1)(2m−2)mq=(2m−1)(2m−2)m
Nếu qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 loại
Suy ra p=5,q=3p=5,q=3
em hok cop nha
nếu thấy nghi thì tại máy tính của em nó bị lỗi đấy ạ
1. Cho \(a,b,c\in Z\), \(a^3+b^3+c^3⋮9\). CMR abc⋮3
2. Tìm p nguyên tố để 2p+1 là lập phương 1 số tự nhiên
3. tìm p, q là các số nguyên tố phân biệt sao cho \(p+q=\left(p-q\right)^3\)
1.
\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
Do vế phải chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) vế trái chia hết cho 3
\(\Rightarrow a+b+c⋮3\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3⋮27\)
\(a+b+c⋮3\Rightarrow3\left(a+b+c\right)⋮9\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)⋮9\)
\(\Rightarrow3abc⋮9\Rightarrow abc⋮3\)
2.
Đặt \(2p+1=n^3\Rightarrow2p=n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\) (hiển nhiên n>1)
Do \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow n-1\) chẵn \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(\Rightarrow2p=\left(2k+1-1\right)\left(n^2+n+1\right)=2k\left(n^2+n+1\right)\)
\(\Rightarrow p=k\left(n^2+n+1\right)\Rightarrow k=1\Rightarrow n=3\)
\(\Rightarrow p=13\)
Tham khảo:
2, Với \(p=2->2p+1=5\) không là lập phương 1 số tự nhiên
\(->p=2\) loại
\(-> p>2->(p,2)=1\)
Đặt \(2p+1=(2k+1)^3, k∈ N,\)vì \(2p+1\) lẻ
\(->2p=(2k+1)^3-1\)
\(-> 2p=(2k+1-1)[(2k+1)^2+(2k+1)+1]\)
\(->2p=2k(4k^2+6k+3)\)
\(->p=k(4k^2+6k+3)\)
Vì \(p\) là số nguyên tố, \(4k^2+6k+3>k\)
\(->k=1\) và \(4k^2+6k+3\) là số nguyên tố.
\(->4k^2+6k+3=13(\) khi \(k=1)\) là số nguyên tố
\(->k=1\) (chọn)
\(-> 2p+1=27\)
\(->p=13\)
3.
Do \(p+q>0\Rightarrow\left(p-q\right)^3>0\Rightarrow p>q\)
Nếu \(q=2\Rightarrow\left(p-2\right)^3=p+2\Rightarrow p^3-6p^2+11p-10=0\) ko có nghiệm nguyên (loại)
\(\Rightarrow q>2\Rightarrow q\) lẻ \(\Rightarrow p;q\) cùng lẻ \(\Rightarrow p-q\) chẵn
\(\Rightarrow p-q=2k\)
Ta có:
\(\left(p-q\right)^3=p+q\Rightarrow\left(p-q\right)^3-\left(p-q\right)=2q\)
\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left[\left(p-q\right)^2-1\right]=2q\)
\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\)
\(\Rightarrow2k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\)
\(\Rightarrow q=k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)\)
Do q có 3 ước, mà \(p-q+1>p-q-1\)
\(\Rightarrow q\) là SNT khi \(k=p-q-1=1\)
\(\Rightarrow p-q=2k=2\) (1)
\(\Rightarrow p+q=\left(p-q\right)^3=2^3=8\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(5;3\right)\)
tìm số p nguyên tố để :
a, 2p^2+1 cũng là nguyên tố
b, 4p^2+1 , 6p^2+1 cũng là nguyên tố
a) Gọi p là số nguyên tố cần tìm.
Nếu p chia hết cho 3 và p là số nguyên tố nên p = 3.
Ta có \(2p^2+1=19\).
Vậy p = 3 (thỏa mãn).
Nếu p chia cho 3 dư 1, ta có p = 3k + 1. ( k là một số tự nhiên).
\(2p^2+1=2.\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1=18k^2+12k+3\)\(=3\left(6k^2+4k+1\right)\) chia hết cho 3.
Nếu p chia cho 3 dư 2, ta có p = 3k + 2, (k là một số tự nhiên).
\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)\(=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) chia hết cho 3.
vậy p = 3 là giá trị cần tìm.
b) Dễ thấy p = 2 không phải là giá trị cần tìm.
vậy p là một số nguyên tố lẻ suy ra p có tận cùng là 1, 3, 5, 7.
nếu p có tận cùng là 1 thì \(p^2\) cũng có tận cùng là 1. Suy ra \(4p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 3 thì \(p^2\) có tận cùng là 9. Suy ra \(6p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 5 thì p phải bằng 5. Thay vào ta thấy của \(4p^2+1\) và \(6p^2+1\) đều là các số nguyên tố.
nếu p có tận cùng là 7 thì \(p^2\) có tận cùng bằng 9. Suy ra \(6p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 9 thì \(p^2\) có tận cùng bằng 1. Suy ra \(4p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
vậy p = 5 là giá trị cần tìm.
Another way !!!
Ta có
\(4p^2+1=5p^2+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
\(4\left(6p^2+1\right)=25p^2+\left(p-2\right)\left(p+2\right)\)
Nếu p chia 5 dư 4 hoặc dư 1 thì \(4p^2+1⋮5\)
\(\Rightarrow4p^2+1\) không là số nguyên tố vì luôn lớn hơn 5
Nếu p chia 5 dư 3 hoặc dư 2 thì \(4\left(6p^2+1\right)⋮5\Rightarrow6p^2+1⋮5\) vì \(\left(4;5\right)=1\)
\(\Rightarrow6p^2+1\) không là số nguyên tố vì luôn lớn hơn 5
Khi đó p chia hết cho 5 mà p là số nguyên tố nên p=5