Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=6\)
C/m \(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}=3\)
cho các số thực a,b,c thoả mãn a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2=6 chứng minh rằng a^2012+b^2012+c^2012=3
cho các số thực a,b,c thỏa a2+b2+c2+\(\dfrac{1}{a^2}\)+\(\dfrac{1}{b^2}\)+\(\frac{1}{c^2}\)=6
C/m: a2012+b2012+c2012=6
\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1
cách c/m:
\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)
\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)
\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)
\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)
\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)
\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1
\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1
\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?
p/s: sai sót bỏ qua >:
:V quên
dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\pm1\)
số mũ chẵn =.='
Boul đẹp trai_tán gái đổ 100% : Chứng minh hơi dài dòng
C1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2.\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow a^4=1\Leftrightarrow a=\pm1\)
....
C2: \(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+1}{a^2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+1-2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=\pm1\)
cho các số thực a,b,c thỏa a2+b2+c2+\(\dfrac{1}{a^2}\)+\(\dfrac{1}{b^2}\)+\(\frac{1}{c^2}\)=6
C/m: a2012+b2012+c2012=6
Bên dưới là chứng minh bằng 3 hay 6 bạn? Sao bằng 6 được nhỉ?
Bài 1:
CHo hai số sau: x=\(\frac{2011^3-1}{2011^2+2012}\)và y= \(\frac{2012^3+1}{2012^2-2011}\). Tính x+y
Bài 2. Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn ab+bc+ac=0
Hãy tính giá trị biểu thức N=\(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
Cho các số a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}\)
Tính A=4(a-b)(b-c)-(c-a)2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
\(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=\frac{a-b}{2012-2013}=\frac{b-c}{2013-2014}=\frac{c-a}{2014-2012}\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{-1}\right)\left(\frac{b-c}{-1}\right)=\left(\frac{c-a}{2}\right)^2\)
hay \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)
Đặt \(\frac{a}{2012}=\frac{b}{2013}=\frac{c}{2014}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2012k\\b=2013k\\c=2014k\end{cases}}\)
A = 4( a - b )( b - c ) - ( c - a )2
= 4( 2012k - 2013k )( 2013k - 2014k ) - ( 2014k - 2012k )2
= 4.( -k ).( -k ) - ( 2k )2
= 4k2 - 4k2 = 0
Cho 2 số nguyên dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c=\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}\)
Tính giá trị biểu thức P=\(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\)
Bài 1: Cho B = \(x^{2013}-2014x^{2012}+2014x^{2011}-2014x^{2010}+...-2014x^2+2014x-1\)
Tính giá trị của biểu thức B với x=2013.
Bài 2: Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
Tính giá trị của biểu thức : M=\(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
cho 2014=2013+1 thay vào ta có:\(B=x^{2013}-\left(2013+1\right)x^{2012}+\left(2013+1\right)x^{2011}-...-\left(2013+1\right)x^2+\left(2013+1\right)x-1\)
\(=x^{2013}-\left(x+1\right)x^{2012}+\left(x+1\right)x^{2011}-...-\left(x+1\right)x^2+\left(x+1\right)x-1\)
\(=x^{2013}-x^{2013}-x^{2012}+x^{2012}+x^{2011}-...-x^3-x^2+x^2+x-1\)
\(=x-1=2013-1=2012\)
Cho 3 số thực khác 0 thỏa mãn :
abc=20123 và 20122(1/a+1/b+1/c)<a+b+c
CMR trong 3 số có một số lớn hơn 2012
2.Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\) 1. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh \(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\ge1\)
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)