a)Xét tam giác BDH và tam giác BEC có: góc B chung ; góc BDH = góc BEC = 90

=> tam giác BDH đồng dạng với tam giác BEC (g-g)

=> BD/BE = BH/BC => BD/BH = BE/BC

Xét tam giác BED và tam giác BCH có: góc B chung; BD/BH = BE/BC (cmt)

=> tam giác BED đồng dạng với tam giác BCH (c-g-c)

b)Xét tam giác BFH và tam giác CEH có: BFH = CEH = 90; BHF = CHE (đối đỉnh)

=> tam giác BFH đồng dạng với tam giác CEH (g-g)

=> FH/EH = BH/CH => FH/BH = EH/CH

Xét tam giác FEH và tam giác BCH có: FHE = BHC (đối đỉnh); FH/BH = EH/CH (cmt)

=> tam giác FEH đồng dạng với tam giác BCH (c-g-c)

=> FEH = BCH hay MEH = BCH(1)

VÌ tam giác BED đồng dạng với tam giác BCH (cmt) => BED = BCH hay HEN = BCH(2)

 Từ (1),(2)=> MEH = HEN

Xét tam giác MHE và tam giác NHE có: HME = HNE =90; HE chung ; MEH = NEH(cmt)

=> tam giác MHE bằng tam giác NHE (ch-gn)

=> HM = HN(2 cạnh tương ứng)

còn câu c) mình chưa làm được, bạn làm được chưa ? làm giùm  mình với

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp.

Ta có ∠AEH=∠AFH=90o⇒∠AEH=∠AFH=90o⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính AH

⇒⇒ A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

⇒AEHF⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có ∠BEC=∠BFC=90o⇒∠BEC=∠BFC=90o⇒ BCEF  là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I. Vẽ tiếp tuyến ID với (O)(O)(D là tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh ID2=IB.ICID2=IB.IC.

Xét ΔIBDΔIBD và ΔIDCΔIDC có:

∠I∠I  chung

∠IDB=∠ICD∠IDB=∠ICD (ID là tiếp tuyến của (O)(O))

⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).

c) DE, DF cắt đường tròn (O)(O) tại M và N. Chứng minh NM // EF.

Xét ΔIBEΔIBE và ΔIFCΔIFC có:

∠I∠I chung

∠IEB=∠ICF∠IEB=∠ICF (BCEF  là tứ giác nội tiếp)

⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF (kết hợp b)

⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID 

Xét ΔIDFΔIDF và ΔIEDΔIED có:

∠I∠I chung

 IDIE=IFID(cmt)IDIE=IFID(cmt)

⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED (2 góc tương ứng)

Mặt khác ∠IDF=∠NMD∠IDF=∠NMD (ID là tiếp tuyến của (O)(O)) ⇒∠IED=∠NMD⇒∠IED=∠NMD (tc)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒⇒ NM // EF.

Cho tam giác ABC nhọn AB

CHÚC BẠN HỌC TỐT

NÈ BẠN

\({}\)

a) Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự như thế, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB. Cũng có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\) nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{BEM}\) 

\(=\left(90^o-\widehat{IEA}\right)+\widehat{EBC}\)

\(=90^o-\widehat{EAD}+\widehat{EBD}=90^o\) (do \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\))

Vậy \(IE\perp ME\)

b) Dễ thấy các điểm I, D, E, F, M, K cùng thuộc đường tròn đường kính IM. Gọi J là trung điểm AI thì I chính là tâm của đường tròn (AIK) nên (J) tiếp xúc với (I) tại A. Dẫn đến A nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J)

 Mặt khác, ta có \(SK.SI=SE.SF\) nên \(P_{S/\left(I\right)}=P_{S/\left(J\right)}\) hay S nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J). Suy ra AS là trục đẳng phương của (I) và (J). \(\Rightarrow\)\(AS\perp IJ\) hay AS//BC (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác AKEP nội tiếp đường tròn AP

\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{MKE}=\widehat{MDE}=\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\Delta BAE~\Delta BPA\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{BEA}=90^o\)

\(\Rightarrow\) AP//QH \(\left(\perp AB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAP}=\widehat{IHQ}\) (2 góc so le trong)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IAP=\Delta IHQ\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow IP=IQ\) hay I là trung điểm PQ (đpcm)

Kẻ CG//MN(G thuộc AB), CG cắt AD tại K

=>HI vuông góc CK

=>I là trựctâm của ΔHCK

=>KI vuông góc CH

=>KI//AB

=>KI//BG

=>K là trung điểm của CG

MN//GC

=>MH/GK=HN/KC

mà GK=KC

nên MH=HN

a: Xét ΔABC có

BE,CF là đừog cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

b: Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

=>BHCM là hình bình hành

=>BC cắt HM tại trung điểm của mỗi đường

=>H,I,M thẳng hàng

Xét ΔBIH và ΔCIM có

IB=IC

IH=IM

BH=CM

=>ΔBIH=ΔCIM