Bài 1:
Ta có dãy số 2, 4, 6, ..., 2n là một dãy số chẵn liên tiếp.
Ta có công thức tổng của dãy số chẵn liên tiếp là: S = (a1 + an) * n / 2
Với a1 là số đầu tiên của dãy, an là số cuối cùng của dãy, n là số phần tử của dãy.
Áp dụng công thức trên vào bài toán, ta có:
(2 + 2n) * n / 2 = 756
(2n + 2) * n = 1512
2n^2 + 2n = 1512
2n^2 + 2n - 1512 = 0
Giải phương trình trên, ta được n = 18 hoặc n = -19.
Vì n là số tự nhiên nên n = 18.
Vậy số tự nhiên n cần tìm là 18.

Bài 2:
Ta có p = (n - 2)(n^2 + n - 5)
Để p là số nguyên tố, ta có hai trường hợp:
1. n - 2 = 1 và n^2 + n - 5 = p
2. n - 2 = p và n^2 + n - 5 = 1
Xét trường hợp 1:
n - 2 = 1
=> n = 3
Thay n = 3 vào phương trình n^2 + n - 5 = p, ta có:
3^2 + 3 - 5 = p
9 + 3 - 5 = p
7 = p
Vậy n = 3 và p = 7 là một cặp số nguyên tố thỏa mãn.

Xét trường hợp 2:
n - 2 = p
=> n = p + 2
Thay n = p + 2 vào phương trình n^2 + n - 5 = 1, ta có:
(p + 2)^2 + (p + 2) - 5 = 1
p^2 + 4p + 4 + p + 2 - 5 = 1
p^2 + 5p + 1 = 1
p^2 + 5p = 0
p(p + 5) = 0
p = 0 hoặc p = -5
Vì p là số nguyên tố nên p không thể bằng 0 hoặc âm.
Vậy không có số tự nhiên n thỏa mãn trong trường hợp này.

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 3.

Bài 1

...=((2n-2):2+1):2=756

(2(n-1):2+1)=756×2

n-1+1=1512

n=1512

Bài 2

\(\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\) là số nguyên tố khi n-2=1, suy ra n=3.

\(A=\frac{2n+6}{n+1}=\frac{2n+2+4}{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+4}{n+1}=2+\frac{4}{n+1}\)

Để \(2+\frac{4}{n+1}\) là số nguyên tố <=> \(\frac{4}{n+1}\) là số nguyên tố 

Mà n là số tự nhiên => n + 1 thuộc ước nguyên dương của 4

=> Ư(4) = { 1; 2; 4 }

Với n + 1 = 1 => n = 0 => A = 6 ko là số nguyên tố ( loại )

Với n + 1 = 2 => n = 1 => A = 4 ko là số nguyên tố ( loại )

Với n + 1 = 4 => n = 3 => A = 3 là số nguyên tố ( chọn )

Vậy n = 3 thì A là số nguyên tố 

Để a là số nguyên tố thì phân số a tối giản

=} ƯCLN của tử và mẫu là 1

Gọi d = ƯCLN(2n+6,n+1)

Khi đó n+1 chia hết cho d =} 2(n+1) chia hết cho d

=} 2n+2 chia hết cho d

Do đó (2n+6) - (2n+2) chia hết cho d

Hay 2n+6-2n-2 chia hết cho d

=} 4 chia hết cho d =} d£ Ư(4) = { 1;2;4 }

Vì 2n+6 chia hết cho 2 mà n+1 ko chia hết cho 2

=} d khác 2

Mik chỉ làm được đến đây thôi

Phần còn lại bạn tự tìm cách chứng minh d=1 nha

cho mik với 

=} là suy ra

£ là thuộc 

a) 4n + 7 chia hết cho 2n + 1

⇒ 4n + 2 + 5 chia hết cho 2n + 1

⇒ 2(2n + 1) + 5 chia hết cho 2n + 1

⇒ 5 chia hết cho 2n + 1

⇒ 2n + 1 ∈ Ư(5) (ước dương)

⇒ 2n + 1 ∈ {1; 5}

⇒ n ∈ {0; 2} 

mik pít đấy:giải:

ta có 2n+6 chia hết cho n+1

2n+6 = 2n+2+4 =2(n+1)+4

 mà 2(n+1)chia hết cho n ,suy ra

4 cũng phải chia hết cho n =>n thuộc ư(4)

Ư(4)=1;2;4

     thử chọn:

 n+1=1=> n=0(0 ko pải là số nguyên tố nên ta loại)

n+1=2=>n=1(1 ko pải là số nguyên tố nên ta loại)

n+1=4=>n=3(3 là số nguyên tố nên ta chọn)

Vậy n=3

gọi \(d\in UC\left(2n+6;n+1\right)\)
\(\text{= 1 ( 2n + 6 ) - 2 ( n + 1 ) }⋮d\)

\(\text{= 2n + 6 - 2n - 1}⋮d\)

\(=5⋮d\) \(\Rightarrow d\in U\left(5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

thay 1 vào  ( t/m )

thay 5 vào  ( ko t/m )

thay -1 ; -5 ( ko phải là số tự nhiên nên ko t/m )

vậy n = 1