Xét ΔABC có 

BD,CE là trung tuyến

BD cắt CE tại G

=>G là trọng tâm

=>BG=2GD và CG=2GE

=>BG=GH và CG=GI

=>G là trung điểm chung của CI và BH

=>BIHC là hình bình hành

Hình bình hanh à

a)

BD là đường trung tuyến của Δ ABC nên D là trung điểm của AC (1)

CE là đường trung tuyến của Δ ABC nên E là trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

DE là đường trung bình của Δ ABC

=> DE // BC và DE = 1/2 BC

Δ BGC có H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC

suy ra HK là đường trung bình của Δ BGC

=> HK // BC và HK = 1/2 BC

Tứ giác DEHK có DE//BC, HK // BC và DE = HK = 1/2 BC

nên tứ giác

b) DEHK là hình bình hành nên

HG = GD = 1/2 HD và GE = GK = 1/2 EK

Để tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

HD = EK => 1/2 HD = 1/2 EK => GE = GD và GH = GK

GH = GK => 2GH = 2GK => GB = GC

Xét Δ GEB và Δ GDC có

tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình thoi

a)

BD là đường trung tuyến của Δ ABC nên D là trung điểm của AC (1)

CE là đường trung tuyến của Δ ABC nên E là trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

DE là đường trung bình của Δ ABC

=> DE // BC và DE = 1/2 BC

Δ BGC có H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC

suy ra HK là đường trung bình của Δ BGC

=> HK // BC và HK = 1/2 BC

Tứ giác DEHK có DE//BC, HK // BC và DE = HK = 1/2 BC

nên tứ giác

b) DEHK là hình bình hành nên

HG = GD = 1/2 HD và GE = GK = 1/2 EK

Để tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

HD = EK => 1/2 HD = 1/2 EK => GE = GD và GH = GK

GH = GK => 2GH = 2GK => GB = GC

Xét Δ GEB và Δ GDC có

tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình thoi

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: GD = 1/2 GB (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

GH = 1/2 GB (gt)

Suy ra: GD = GH

GE = 1/2 GC (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

GK = 1/2 GC

Suy ra GE = GK

Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

\(a,\) Vì E,D là trung điểm AB,AC nên ED là đường trung bình tam giác ABC

Do đó \(ED//BC;ED=\dfrac{1}{2}BC(1)\)

Vì H,K là trung điểm GB,GC nên HK là đường trung bình tam giác BGC

Do đó \(HK//BC;HK=\dfrac{1}{2}BC(2)\)

Từ \((1)(2)\Rightarrow HK//ED;HK=ED\)

Vậy DEHK là hình bình hành

\(b,\Delta ABC\) cân tại A nên \(AB=AC\Rightarrow \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow AE=EB=AD=DC\)

Ta có \(AB=AC;AE=AD;\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow \Delta ADB=\Delta AEC(c.g.c)\\ \Rightarrow BD=EC\)

Lại có G là trọng tâm tam giác ABC nên \(CK=KG=GE=\dfrac{1}{3}CE\)

\(BH=HG=GD=\dfrac{1}{3}BD\)

Do đó \(KG+GE=HG+GD(\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}CE)\)

\(\Rightarrow EK=HD\)

Vậy DEHK là hình chữ nhật

a) Xét \(\Delta ABC\)có:

\(AE=BE\)(giả thiết)

\(AD=CD\)(giả thiết)

\(\Rightarrow DE\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DE//BC\)(tính chất) (1)

Và \(2DE=BC\)(tính chất) (2)

Xét \(\Delta GBC\)có:

\(GH=BH\)(giả thiết)

\(GK=CK\)(giả thiết)

\(\Rightarrow HK\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow HK//BC\)(tính chất) (3)

Và \(2HK=BC\)(tính chất) (4)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow ED//HK\)(5)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow2DE=2KH\Rightarrow DE=KH\)(6)

Xét tứ giác DEHK có: (5) và (6).

\(\Rightarrow DEHK\)là hình bình hành (điều phải chứng minh)

b) Xét \(\Delta ABC\)có 2 trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G (giả thiết)

\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Do đó AG đi qua trung điểm của BC.

Mà M là trung điểm của BC (giả thiết)

Suy ra AG đi qua M.

\(\Rightarrow\)3 điểm A, G, M thẳng hàng (điều phải chứng minh).