Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x+y>=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=3(x^4+x^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(x^4+y^4+z^4+2x^2y^2z^2=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\sqrt{2}|xyz|\)
Ta sẽ chứng minh \(P_{min}=1\)
TH1: \(xyz=0\)
\(\Rightarrow x^2y^2z^2=0\Rightarrow x^4+y^4+z^4=1\)
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{x^4+y^4+z^4}=1\)
TH2: \(xyz\ne0\) , từ điều kiện, tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=cosA\\y^2=cosB\\z^2=cosC\end{matrix}\right.\)
\(P=cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)
Ta sẽ chứng minh \(cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\ge1\)
\(\Leftrightarrow4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)
\(\Leftrightarrow8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}\ge cosA.cosB.cosC\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}}{8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}\ge cotA.cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\ge cotA.cotB.cotC\)
\(\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC\ge cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}\)
Ta có:
\(tanA+tanB=\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\dfrac{2sinC}{cos\left(A-B\right)-cosC}\ge\dfrac{2sinC}{1-cosC}=\dfrac{2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}}{2sin^2\dfrac{C}{2}}=cot\dfrac{C}{2}\)
Tương tự: \(tanA+tanC\ge cot\dfrac{B}{2}\) ; \(tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Vậy \(P_{min}=1\) khi \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị hoặc \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 4 + 9.3 x 2 − 2 y = 4 + 9 x 2 − 2 y .7 2 y − x 2 + 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2 y + 18 x .
A. P = 3 + 2 2
B. P = 1 + 9 2
C. P = 9
D. Không tồn tại
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 4 + 9 . 3 x 2 - 2 y = ( 4 + 9 x 2 - 2 y ) . 7 2 y - x 2 + 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2 y + 18 x .
D. Không tồn tại
Cho các số thực x,y thỏa mãn : \(x^4+y^4+x^2-3=2y^2\left(1-x^2\right).\)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(x^2+y^2\)
Cho hai số thực x và y thỏa mãn \(x^2+y^2=1+xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=x^4+y^4-x^2y^2\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 5 x + 2 y + 3 3 x y + x + 1 = 5 x y 5 + 3 − x − 2 y + x − 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y .
A. T min = 2 + 3 2 .
B. T min = 1 + 5 .
C. T min = 3 + 2 3 .
D. T min = 5 + 3 2 .
Đáp án C.
Ta có:
G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.
Xét hàm số
f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1
⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1
Ta có: T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 5 x + 2 y + 3 3 x y + x + 1 = 5 x y 5 + 3 - x - 2 y + x - 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y.
Đáp án C.
Ta có: GT
<=> 5x+2y + x + 2y – 3–x–2y = 5xy–1 – 31–xy + xy – 1.
X é t h à m s ố f t = 5 t + t - 3 - t
⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 - t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra
f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1
⇔ x = 2 y + 1 y - 1 ⇒ T = 2 y + 1 y - 1 + y .
Do x > 0 => y > 1.
Ta có:
T = 2 + y + 3 y - 1 = 3 + y - 1 + 3 y - 1 ≥ 3 + 2 3 .
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 4 + 9.3 x 2 − 2 y = 4 + 9 x 2 − 2 y .7 2 y − x 2 + 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2 y + 18 x bằng
A. 9
B. 3 + 2 2
C. 1 + 9 2
D. 17
Cho các số thực x, y thỏa mãn
x4 + y4 + x2 – 3 = 2y2(1 – x2).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 + y2.