Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z 

\(\Leftrightarrow b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}\ge a+b+c\)

\(\frac{b.c}{a}+\frac{c.a}{b}+\frac{a.b}{c}\ge a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c

dự đoán của Thần thánh

\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)

\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)

tương tự với các BDT còn lại suy ra

\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)

tương tự với b^2+c^2 ta được

\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) 

" thay 1/3 vào ta được

\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)

mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) 

thay a+b+c=1 vào ta được

\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "

bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)

\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)

mà a+b+C=1 suy ra

\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"

từ 1 và 2 suy ra

\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

" đúng với dự đoán của thần thánh "

Ta có :

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}=\frac{ab-bc}{\left(a+b\right)-\left(b+c\right)}=\frac{bc-ca}{\left(b+c\right)-\left(c+a\right)}=\frac{ab-ca}{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow Q=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=1\)

thiếu đề

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ac}{a+c}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{b\left(a+c\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow ac+bc=ab+bc\Rightarrow ac=ab\Rightarrow c=b\) (1)

\(\Rightarrow b\left(a+c\right)=a\left(b+c\right)\Leftrightarrow ab+bc=ab+ac\Rightarrow bc=ac\Rightarrow b=a\) (2)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)=a\left(b+c\right)\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac\Rightarrow bc=ab\Rightarrow c=a\) (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => \(a=b=c\) (ĐPCM)

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ab}{3}=\frac{ca+bc}{4}\)

( ta lần lược lấy - (1) + (2) + (3) = (1) - (2) + (3) = (1) + (2) - (3) được)

\(=\frac{2bc}{5}=\frac{2ca}{3}=\frac{2ab}{1}\)

Ta thấy rằng a,b,c không thể = 0 vì như vậy thì a + b + c \(\ne69\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{c}{5}\\b=\frac{c}{3}\end{cases}}\)

Thế vào: a + b + c = 69

\(\Leftrightarrow\frac{c}{5}+\frac{c}{3}+c=69\)

\(\Rightarrow c=45\)   

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=9\\b=15\end{cases}}\)  

Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà làm

Biết là dùng dãy tỷ số rồi

Không đơn giản nhìn ra được cách xắp xép (+) (-) như @ ALI đâu. Hay!

Còn cách ghép nào hay hơn nữa  không nhỉ% 

\(A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}+\frac{abc}{ca+c+abc}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab}=1\)

Theo bài ra ta có: a.b.c = 1

    =>  a=1;b=1;c=1

Ta có: A = \(\frac{1}{a.b+a+1}\)\(+\frac{1}{b.c+b+1}+\frac{1}{c.a+c+1}\)\(=\frac{1}{1.1+1+1}+\frac{1}{1.1+1+1}\)\(+\frac{1}{1.1+1+1}\)

             \(=\frac{1}{1+1+1}+\frac{1}{1+1+1}+\frac{1}{1+1+1}\)\(=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\)

Vậy A = 1

\(A=\)\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

    \(=\frac{c}{\left(ab+a+1\right)c}+\frac{ac}{\left(bc+b+1\right).ac}+\frac{1}{ca+c+1}\)

    \(=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\)

    \(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{c+1+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\)

    \(=\frac{c+ac+1}{1+ac+c}=1\)