Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :

\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{2y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{2y}\cdot\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(1+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Cách khác:

Với x,y >0.Áp dụng bđt svac -xơ có:

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)

=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1

Đặt  \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)  

\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\)  (do  \(x+2y=3\)  )

nên  \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\)  , ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Do đó,  \(3A\ge2.2+5=9\)

Hay nói cách khác,  \(A\ge3\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy,  \(A_{min}=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .

dự đoán điểm rơi  x = y = 1 

                       Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)

                                \(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)

cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 ) 

                                                                  => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1 

4. 

Xét biểu thức : \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left(\frac{k-\left(k-1\right)-1}{k\left(k-1\right)}\right)=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k\left(k-1\right)}\right)=\left(1+\frac{1}{\left(k-1\right)}-\frac{1}{k}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}=\left|1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|\)

Áp dụng : \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

...............................................................

\(\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}=1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)

Cộng vế các đẳng thức trên được : \(B=2016-\frac{1}{2016}\)

ý thứ 2 là 8/7 chứ không phải 8/8 các bạn nhé. M đánh nhầm chữ

bài này mk chịu vì mk mới học lớp 5

b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)

\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:

\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)

\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1