Question

các bạn giải hộ mình nha!

Cho hai số dương x,y thỏa mãn: x+2y=3 . Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)

Answer 1

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)

\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)

Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Answer 2

Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)

:))