1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

Gọi \(d\)là ước chung lớn nhất của 2n+1 và 6n+4(\(d\in\)N*)

Khi đó \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\cdot\left(2n+1\right)⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)(Vì \(d\in\)N*)

\(\Rightarrowđpcm\)

amazing goodjob

Gọi (2n + 1,6n + 5) = d (d \(\in\)N)

=> 2n + 1 chia hết cho d và 6n + 5 chia hết cho d

=> 3 . (2n + 1) chia hết cho d và 6n + 5 chia hết cho d

=> 6n + 3 chia hết cho d và 6n + 5 chia hết cho d

=> 6n + 5 - (6n + 3) chia hết cho d

hay 2 chia hết cho d => d \(\in\)Ư(2) => d \(\in\){-2;-1;1;2}

Mà d là lớn nhất nên d = 2

Ta thấy 6n + 5 ko chia hết cho 2 và 2n + 1 ko chia hết cho 2

=> (2n + 1,6n + 5) = 1

Vậy 2n + 1 và 6n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi n thuộc N

Ủng hộ mk nha !!! ^_^

Gọi d là Ưcln của 2n + 1 và 6n + 5

Khi đó : 2n + 1 chia hết cho d và 6n + 5 chia hết cho d

<=> 3.(2n + 1) chia hết cho d và 6n + 5 chia hết cho d

=> 6n + 3 chia hết cho d và 6n + 5 chia hết cho d

=> (6n + 5) - (6n + 3) chia hết cho d => 2 chia hết cho d

Mà ưc của 2 là 1 => d = 1

VậY (đpcm_)

Giả sử UCLN của 2n + 1 và 6n + 5 là : H

Ta có : 2n + 1 chia hết cho H và 6n + 5 chia hết cho H

=> 3( 2n + 1 ) chia hết cho H và 6n + 5 => chia hết cho H

=> 6n + 3 chia hết cho H và 6n + 5 => chia hết cho H

Vậy nên ( 6n + 5 ) - ( 6n + 3 ) chia hết cho H => H chia hết cho 2

Ư ( 2 ) là 1 => H = 1

Vậy .............

Gọi ƯCLN(6n + 7 ; 8n + 9) = d

=> \(\hept{\begin{cases}6n+7⋮d\\8n+9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(6n+7\right)⋮d\\3\left(8n+9\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}24n+28⋮d\\24n+27⋮d\end{cases}}\)

=> \(\left(24n+28\right)-\left(24n+27\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> d = 1

=> 6n + 7 và 8n + 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau

tớ chỉ làm cho cậu 1 cái thôi, còn lại cậu tự giải tương tự

Đặt d= ƯCLN (2n+1, 2n+3)

\(\Rightarrow2n+1⋮d\) và\(3n+2⋮d\)

=>\(3\left(2n+1\right)⋮d\) và\(2\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6n+3⋮d\) và\(6n+4⋮d\)

=>6n+4 - (6n+3) \(⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

Vậy cặp số trên nguyên tố cùng nhau với mọi STN n

n+1 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN (n+1;4n+3)=1

gọi ƯCLN (n+1;4n+3)=d

=>[(n+1)+(4n+3)] chia hết cho d

=>1 chia hết cho d =>d=1

=>ƯCLN(n+1;4n+3) =1

vậy n+1 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

TK MÌNH NHÉ

trong chtt có 

tick nha

tham khảo câu hỏi tương tự nha bạn

2n + 2 = 4n

6n + 5 = 11n

=> ƯCLN(4n, 11n) = 1

<=> ƯCLN(2n + 2, 6n + 5) = 1

Vì 2, 5 là số nguyên tố mà chỉ duy nhất 6 là hợp số nên 6 + 5 = 11 là số nguyên tố

=> ƯCLN(2n + 2, 6n + 5) = 1

=> ĐPCM