Question

Chứng minh rằng 4n + 1 và 6n + 2 là số nguyên tố cùng nhau với mọi n \(\varepsilon\)N

 

Answer 1

Bài Làm 

Gọi ƯCLN ( 4n + 1 và 6n + 2 ) bằng D

=> \(\hept{\begin{cases}4n+1⋮D\\6n+2⋮D\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+3⋮D\\12n+4⋮D\end{cases}}}\)

=> ( 12n + 4 ) - ( 12n + 3 ) \(⋮\)D

=> 1 \(⋮\)D

=> D = 1

Vì D = 1 nên 4n + 1 và 6n + 2 là số nguyên tố cùng nhau

Answer 2

Đặt ƯCLN ( 4n + 1 , 6n + 2 ) = d

=> \(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+2⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}3.\left(4n+1\right)⋮d\\2.\left(6n+2\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+4⋮d\end{cases}}\)=> ( 12n + 4 ) - ( 12n + 3 ) \(⋮d\)=> 1 \(⋮d\)

=> d thuộc Ư ( 1 ) = 1

ƯCLN ( 4n + 1 , 6n + 2 ) = 1

Vậy hai số 4n + 1 và 6n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau ( dpcm )