S₁ = 1-2+3-4+....+2017-2018

     = (-1)+(-1)+....+(-1)

     = (-1) x 1009

     =   -1009

S3=2019 nha, mình ko kip viết cách giai

S₁= (1-2)+(3-4)+............+(2017-2018)

     =(-1).(-1).......(-1)

     =(-1).1009

     (-1009)

sử dụng đồng dư thức hoặc hằng đẳng thức

Các số từ $2^2,2^3,...,2^{2017}$ đều là số chẵn nên $2^2+2^3+...+2^{2017}$ chẵn.

Mà $1$ lẻ nên $S=1+2^2+2^3+...+2^{2017}$ lẻ nên $S$ không chia hết cho $4$

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2017^2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}\)

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2017^2}< \frac{2016}{2017}\left(đpcm\right)\)

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}\)

\(A=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{2016.2016}+\frac{1}{2017.2017}\)

Ta thấy \(\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3.3}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4.4}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{2016.2016}< \frac{1}{2016.2017};\frac{1}{2017.2017}< \frac{1}{2017.2018}\)

Suy ra \(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}+\frac{1}{2017.2018}\)

Nên \(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

Khi đó \(A< 1-\frac{1}{2018}< 1\)nên A < 1

Suy ra A - 1 < 0

Vậy A - 1 < 0