1) Đặt A = n⁶ - 1 = ( n³ - 1)( n³ + 1) = ( n - 1)( n² + n + 1)( n +1)(n² - n + 1)

Nếu n không chia hết cho 7 thì:

Xét nếu n = 7k + 1 thì n - 1 = 7k + 1 - 1 = 7k chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Nếu n = 7k + 2 thì n² + n + 1 = (7k + 2)² + 7k + 2 + 1 = 7(7k² +3k+1) chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Tương tự đến trường hợp n = 7k + 6

=> Nếu n không chia hết cho 7 thì n⁶ - 1 chia hết cho 7

Mà n⁶ - 1 = (n³ - 1)(n³ + 1)

Do đó: n³ - 1 chia hết cho 7 hoặc n³ - 1 chia hết cho 7

3) n(n + 1)(2n + 1)

= n(n + 1)[(n + 2) + (n - 1)]

= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)

Vì n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

Nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 (1)

Vì n(n + 1)(n - 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

Nên n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 6 (2)

Từ (1), (2) => Đpcm

2)Đề sai. Sửa:

\(n\left(n^2-1\right)\left(3n+6\right)\)\(=3n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Theo nguyên lí Dirichle, chắc chắn có 1 số chia hết cho 4.

\(\Rightarrow3n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3⋮4=12\)

Vậy ....

3n+2 chia hết cho 3n+2

=>2.(3n+2)=6n+4 chia hết cho 3n+2

Vì 5n+7 chia hết cho 3n+2 và 6n+4 chia hết cho 3n+2

=>6n+4-(5n+7)=n-3 chia hết cho 3n+2

n-3 chia hết cho 3n+2

=>3.(n-3)=3n-9=3n+2-11chia hết cho 3n+2

Vì 3n+2-11 chi hết cho 3n+2 và 3n+2 chia hết cho 3n+2

=> -11 chia hết cho 3n+2

=>3n+2 thuộc Ư(-11)

=>3n+2={1;-1;-11;11}

=>3n={-1;-3;-13;9}

=>n={-1/3;-1;-13/3;3}

Nếu p=2

8p-1=16-1=15 là hợp số trái với đề(TVĐ)

Nếu p=3

8p-1=8.3-1=24-1=23

8p+1=8.3+1=24+1=25 là hợp số

Nếu p>3

TH1:p=3k+1(vì p là số nguyên tố)

8p-1=8.(3k+1)-1=24k+8-1=24k+7

8p+1=8.(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9 là hợp số

TH2:p=3k+2 

=>8p-1=8.(3k+2)-1=24k+16-1=24k +15=3.(8k+5) chia hết cho 3

Mà p>3

=>8p-1>3

=>8p-1=8.(3k+2)-1=24k+16-1=24k +15=3.(8k+5) là hợp số(TVĐ)

Vậy nếu 8p - 1 và p là SNT thì 8p + 1là hợp số

3n+2 chia hết cho 3n+2

=>2.(3n+2)=6n+4 chia hết cho 3n+2

Vì 5n+7 chia hết cho 3n+2 và 6n+4 chia hết cho 3n+2

=>6n+4-(5n+7)=n-3 chia hết cho 3n+2

n-3 chia hết cho 3n+2

=>3.(n-3)=3n-9=3n+2-11chia hết cho 3n+2

Vì 3n+2-11 chi hết cho 3n+2 và 3n+2 chia hết cho 3n+2

=> -11 chia hết cho 3n+2

=>3n+2 thuộc Ư(-11)

=>3n+2={1;-1;-11;11}

=>3n={-1;-3;-13;9}

=>n={-1/3;-1;-13/3;3}

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để: 
2a + 1 = n^2 (1) 
3a +1 = m^2 (2) 
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được: 
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 
=> a = 2k(k+1) 
vậy a chẵn . 
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1 
(1) + (2) được: 
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1 
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1) 
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8 
ta cần chứng minh a chia hết cho 5: 
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9 
xét các trường hợp: 
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 
a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7) 
a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 
a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 
=> a chia hết cho 5 
5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40 
hay : a là bội số của 40

a = b(mod n) là công thức dùng để chỉ a,b có cùng số dư khi chia cho n, gọi là đồng dư thức .
Ta có các tính chất cua đồng dư thức và các tính chất sau: 
Cho x là số tự nhiên 
Nếu x lẻ thì =\(\Rightarrow\) x^2 =1 (mod 8) 
x² =-1(mod 5) hoặc x² = 0(mod 5) 
Nếu x chẵn thì x² = \(-1\)(mod 5) hoặc x² =1(mod 5) hoặc x² = 0(mod 5) 
Vì 2a +1 và 3a+1 là số chính phương nên ta đặt 
3a+1=m^2 
2a+1 =n^2 
=> m^2 -n^2 =a (1) 
m^2 + n^2 =5a +2 (2) 
3n^2 -2m^2=1(rút a ra từ 2 pt rồi cho = nhau) (3) 
Từ (2) ta có (m^2 + n^2 )=2(mod 5) 
Kết hợp với tính chất ở trên ta => m^2=1(mod 5); n^2=1(mod 5) 
=> m^2-n^2 =0(mod 5) hay a chia hết cho 5 
từ pt ban đầu => n lẻ =>n^2=1(mod 8) 
=> 3n^2=3(mod 8) 
=> 3n^2 -1 = 2(mod 8) 
=> (3n^2 -1)/2 =1(mod 8) 
Từ (3) => m^2 = (3n^2 -1)/2 
do đó m^2 = 1(mod 8) 
ma n^2=1(mod 8) 
=> m^2 - n^2 =0 (mod 8) 
=> a chia hết cho 8 
Ta có a chia hết cho 8 và 5 và 5,8 nguyên tố cùng nhau nên a chia hết cho 40.Vậy a là bội của 40 
Nếu bạn không biết đồng dư thức thì .......:))

\(⋮\)

Bước đến nhà em bóng xế tà

Đứng chờ năm phút bố em ra

Lơ thơ phía trước vài con chó

Lác đác đằng sau chiếc chổi chà

Sợ quá anh chuồn quên đôi dép

Bố nàng ngoác mỏ đứng chửi cha

Phen này nhất quyết thuê cây kiếm

Trở về chém ổng đứt làm ba

Bạn tham khảo bài làm của vài bn khác nhé ! ( Ấn vào Câu hỏi tương tự ý )

Mik phải đi ngủ rồi !

-Bye-