Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\ge4a^2b^2\)(BĐT Cô-si)

Có: \(ab^3+a^3b=ab\left(a^2+b^2\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(ab\left(a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2\)

\(\Rightarrow ab^3+a^3b+2a^2b^2\ge4a^2b^2\)

Vậy VT=VP.

Ta có đpcm.

Ta có a⁴ + b⁴ - a³ b - ab³ = (a - b)(a³ - b³)

= (a -b)² (a² + ab + b²)

= (a - b)² [\(\frac{3b^2}{4}+\left(a+\frac{b}{2}\right)^2\)]\(\ge0\)

Ta lại có a⁴ + b⁴ \(\ge2a^2b^2\)

Từ đó => 2(a⁴ + b⁴) \(\ge\)ab³ + a³ b + 2 a² b²

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(a^{ }^2+b^2\right)\ge2ab\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=ab\cdot\left(a+b\right)^2=ab^3+2a^2b^2+a^3b\)

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)-ab^3-a^3b-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)+\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{2}\right]+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)

Xảy ra khi \(a=b=0\)

a2+b2+c2≥ab+bc+caa2+b2+c2≥ab+bc+ca

⇔2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca⇔2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca

⇔a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0⇔a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0

⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức khi a=b=c

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 3a+b-c=x\\ 3b+c-a=y\\ 3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)=24\)

\(\Leftrightarrow 3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24\)

\(\Leftrightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a)=1\)

Do đó ta có đpcm.

a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 - 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 - 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm
b) a^2 +b^2 +1 >= ab +a+b (1)
<=>2a^2 +2b^2 +2 -2ab -2a-2b >=0
<=>[a^2 +b^2 -2ab ] +[a^2 -2a +1] +[b^2 -2b +1 ] >=0
<=>(a -b)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 >=0 (2)
(2) đúng (1) đúng => dpcm

@ngonhuminh

Đề hoàn toàn đúng mà: Ta có

\(\left(a^4+b^4\right)-\left(a^3b+ab^3\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\).  (Ở đây chú ý rằng \(a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\)).

Mặt khác \(\left(a^4+b^4\right)-2a^2b^2=\left(a^2-b^2\right)^2\ge0.\)

Cộng hai bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.

Đề có sai ko bạn