\(VT=\frac{ab}{ab+c}+\frac{ac}{ac+b}+\frac{bc}{bc+a}\)

\(=\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\frac{ac}{ac+\left(a+b+c\right)b}+\frac{bc}{bc+\left(a+b+c\right)a}\)

\(=\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Cần chứng minh \(\frac{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2\ge6abc\)

BĐT cuối luôn đúng theo AM-GM

Áp dụng bđt AM-GM :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\cdot4}}=1\)

Tương tự ta có : 

\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)

\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)

Cộng từng vế ta có :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)

Áp dụng bđt quen thuộc : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)

Khi đó : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

bạn làm sai rồi . Khi \(a^2+b^2+c^2\ge3\) bạn chuyển vế thì nó không cùng dấu với bất đẳng thức

cách này được ko. ( có tham khảo )

Không mất tính tổng quát, giả sử c = min ( a,b,c ).

Khi đó : ab + bc + ac = 3 \(\Rightarrow\)ab \(\ge\)1

CM với a,b > 0 và ab \(\ge\)1 thì \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\) ( tự c/m )

Ta có : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)

ta cần c/m \(\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow c^2+3\ge3abc^2+ab\)\(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\ge3abc^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc\)

BĐT trên đúng vì theo AM-GM ta có : \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ac\right)}=3\)

và \(3=ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow3abc\le3\)

do đó ta có đpcm

Dấu  "= " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM: $1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

Từ đây, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{abc+a}+\frac{b^2}{abc+b}+\frac{c^2}{abc+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3abc+a+b+c}=\frac{1}{3abc+1}\geq \frac{1}{3.\frac{1}{27}+1}=\frac{9}{10}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài làm :

\(VT=\frac{a}{b\left(b^2+a\right)}+\frac{b}{c\left(c^2+b\right)}+\frac{c}{a\left(a^2+c\right)}\)

\(=\frac{1}{b}\cdot\frac{a}{b^2+a}+\frac{1}{c}\cdot\frac{b}{c^2+b}+\frac{1}{a}\cdot\frac{c}{a^2+c}\)

\(=\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b^2}{b^2+a}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c^2}{c^2+b}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a^2}{a^2+c}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(VT\ge\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b^2}{2b\sqrt{a}}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c^2}{2c\sqrt{b}}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a^2}{2a\sqrt{c}}\right)\)

\(=\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c}{2\sqrt{b}}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a}{2\sqrt{c}}\right)\)

\(=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2\sqrt{c}}\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

Lại áp dụng BĐT Cô-si :

\(\frac{1}{\sqrt{a}}\le\frac{\frac{1}{a}+1}{2};\frac{1}{\sqrt{b}}\le\frac{\frac{1}{b}+1}{2};\frac{1}{\sqrt{c}}\le\frac{\frac{1}{c}+1}{2}\)

Do đó :

\(VT\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}{2}\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\)

\(=\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

giúp vs

Lê Thị Thục HiềnTrần Thanh PhươngVũ Minh Tuấn

\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\)     (1)

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)

Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)

Thay vào -> dpcm

\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Chúc bạn học tốt !!!