Đề bài sai, biểu thức này ko có min

Ta có nhận xét sau:

     \(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)

Tương tự với các phân thức còn lại

Ta đặt:

     \(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)

     \(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)

Biểu thức P trở thành:

     \(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)

Dễ thấy:

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Do đó:

     \(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`

`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`

Ad bđt cosi-swart:

`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`

Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`

`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`

`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`

`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`

`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`

Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:

`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`

Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`

`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`

Áp dụng bđt svacxo :

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy \(Min_S=\frac{1}{2}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

\(S=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1^2}{2.1}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{x}{y+z}=\frac{y}{x+z}=\frac{z}{y+x}\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min(S)=1 khi \(x=y=z=1\)

Học tốt!!!!

À mk nhầm dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)nhé!

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2\geq \frac{1}{3}.(\frac{9}{x+y+z})^2=\frac{27}{(x+y+z)^2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{27}{(x+y+z)^2}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{1}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{2}{3}\)

\(\frac{80}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{80}{3}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{82}{3}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài này thì chắc cô si ngược dấu thôi:v

\(LHS=\Sigma\frac{x}{1+y^2}=\Sigma x.\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\)

\(\ge\Sigma x\left(1-\frac{y}{2}\right)=x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

\(\ge x+y+z-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

P/s: check xem có ngược dấu chỗ nào ko:v

bài 1 : a,ta có 3/x-1 =4/y-2=5/z-3 =>  x-1/3=y-2/4=z-3/5 

áp dụng .... => x-1+y-2+z-3 / 3+4+5 = x+y+z-1-2-3/3+4+5 = 12/12=1

do x-1/3 = 1 => x-1 = 3 => x= 4 ( tìm y,z tương tự

Bài 1: 

a) Ta có: 3/x - 1 = 4/y - 2 = 5/z - 3 => x - 1/3 = y - 2/4 = z - 3/5 áp dụng ... =>x - 1 + y - 2 + z - 3/3 + 4 + 5 = x + y + z - 1 - 2 - 3/3 + 4 + 5 = 12/12 = 1 do x - 1/3 = 1 => x - 1 = 3 => x = 4 ( tìm y, z tương tự )

cũng dễ thôi