Đặt \(A=-2x^2-y^2-2xy+4x+2y+2\)

\(-A=2x^2+y^2+2xy-3x-2y-2\)

\(-A=\left(x^2+2xy+y^2\right)+x^2-4x-2y-2\)

\(-A=\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]+\left(x^2-2x+1\right)-4\)

\(-A=\left(x+y-1\right)^2+\left(x-1\right)^2-4\)

Mà  \(\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)

       \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-A\ge-4\)

\(\Leftrightarrow A\le4\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=1\end{cases}}\)

Vậy  \(A_{Max}=4\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)

Đặt  \(B=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+27\)

\(B=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2+10x-22y+27\)

\(B=\left[\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)\times5+25\right]+\)\(\left(y^2-2y+1\right)+1\)

\(B=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)

Mà  \(\left(x-2y+5\right)^2\ge0\forall x;y\)

       \(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow B\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}x-2y+5=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)

Vậy  \(B_{Min}=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(-3;1\right)\)

\(P=\frac{2x^2-2xy+9y^2}{x^2+2xy+5y^2}=1+\frac{\left(x-2y\right)^2}{x^2+2xy+5y^2}=\frac{17}{4}-\frac{1}{3}.\frac{\left(3x+7y\right)^2}{x^2+2xy+5y^2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}min_P=1\\max_P=\frac{17}{4}\end{cases}}\)

A = x² - 4x + 1 = (x² - 2.x.2 + 4) - 3 = (x - 2)² - 3 \(\ge\) -3

Vậy: GTNN của A là -3 (tại x = 2)

B = -2x² + 2x = -2(x² - x) = -2\(\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)

= -2\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\) \(\le\frac{1}{2}\)

Vậy: GTLN của B là \(\frac{1}{2}\) tại x = \(\frac{1}{2}\)

C = x² + y² + 2x + 2y = (x² + 2x + 1) + (y² + 2y + 1) - 2

= (x + 1)² + (y + 1)² - 2 \(\ge\) -2

Vậy: GTNN của C là -2 tại x = -1 ; y = -1

D = x² - 4xy + 5y² - y = (x² - 4xy + 4y²) + (y² - y + \(\frac{1}{4}\)) - \(\frac{1}{4}\)

= (x - 2y)² + (y - \(\frac{1}{2}\))² - \(\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)

Vậy: GTNN của D là \(\frac{-1}{4}\) tại x = 1 ; y = \(\frac{1}{2}\)

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

1) (x-1)² + (x- 4y)² + (y + 2)² +10 -1-4

GTNN = 5

2) tuong tu 

Lời giải:

Biểu thức 1:

\(y=\frac{2x^2-2x+2}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)-2x}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow y=2-\frac{2x}{x^2+1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x^2+1\geq 2\sqrt{x^2}\Leftrightarrow x^2+1\geq 2|x|\)

\(\Rightarrow (x^2+1)^2\geq 4x^2\)

\(\Rightarrow \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\)

Từ đây suy ra \(\left\{\begin{matrix} y=2-\frac{2x}{x^2+1}\geq 1\Leftrightarrow x=1\\ y=2-\frac{2x}{x^2+1}\leq 3\Leftrightarrow x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(y_{\min}=1;y_{\max}=3\)

Biểu thức 2:

ĐKXĐ: $x,y$ không đồng thời bằng 0

\(Q=\frac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)+(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)

\(\Leftrightarrow Q=1+\frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)

Ta thấy \((x+2y)^2\geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}; x^2+y^2>0\) (nằm trong khoảng xác định)

\(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\geq 0\Rightarrow Q\geq 1\)

Vậy \(Q_{\min}=1\Leftrightarrow x=-2y\) và \(x,y \neq 0\)

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxky:

\((x+2y)^2\leq (x^2+y^2)(1+2^2)=5(x^2+y^2)\); \(x^2+y^2>0\) trong khoảng xác định

\(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\leq \frac{5(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=5\)

\(\Rightarrow Q\leq 1+5\Leftrightarrow Q\leq 6\Leftrightarrow Q_{\max}=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow 2x=y\) và \(x,y\neq 0\)