Tham khảo

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584

1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584

a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d

1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7

Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d

1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11

Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584

1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584

a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d

1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7

Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d

1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11

Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584

1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584

a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d

1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7

Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d

1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11

Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584

1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584

a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d

1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7

Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d

1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11

Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+g\left(x\right)\text{ với }g\left(x\right)=bx^2+cx+d\)
Ta có:\(0\le G\left(8\right)\le8.8^2+8.8+8=584\)

\(1995=P\left(8\right)=a.8^3+G\left(8\right)\le a.8^3+584\)

\(a.8^3+584\ge1995\Rightarrow a\ge\frac{1995-584}{8^3}\approx2,75\Rightarrow a\ge3\)

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì \(P\left(8\right)\ge4.8^3=2048>1995\) => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

\(P\left(x\right)=3x^3+bx^2+cx+d\)

\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+G\left(8\right)\Rightarrow G\left(8\right)=495\)

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

\(\)\(495=G\left(8\right)=b.8^2+c.8+d\le a.8^2+8.8+8\Rightarrow b\ge6,6\Rightarrow b\ge7\)

Nếu b = 8 thì \(G\left(8\right)\ge8.8^2=512>495\) => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

\(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+cx+d\)

\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+7.8^2+8c+d\Rightarrow8c+d=11\)

Nếu c ≥ 2 thì \(8c+d\ge8.2=16>11\) => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì \(8.1+d=11\Rightarrow d=3\)
Đa thức \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)

Thử lại thấy đúng

P(x)=0

=>P(3)=0

=>P((3))=0

Với x = 0, ta có (0) = Q(0) + Q(1).            (/)

Với x = 1, ta có (1) = Q(1) + Q(0).            (**)

Từ (*) và (**) ta có: P(0) = P(1)

Giả sử P(x) = a_nx² + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a₁x¹ + a_o (a₁ là các số nguyên không âm; i = 1 -> n)

Vì P(1) = 0 nên: a_n + a_{n - 1} + ... + a₁ + a_o = 0

Mà: a_n; a_{n - 1}; ... ; a₁; a_o là các số nguyên không âm nên a_n = a_{n - 1} = .... = a₁ = a_o = 0

=> (x) = 0 => P(P(3))=0.

 Vì \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)\)

+)\(x=0\) \(​​\implies\) \(P\left(0\right)=Q\left(0\right)+Q\left(1\right)=0\) 

+)\(x=1\) \(​​\implies\)  \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)+Q\left(0\right)\)

  \(​​\implies\) \(P\left(0\right)=P\left(1\right)=0\)

Đặt đa thức : P(x) = a_{n  .} \(x^n\)  + a_{n - 1} . \(x^{n-1}\)  + ...... + a₁ . \(x^1\) +  a₀

P(x) là đa thức bậc n ; có các hệ số là : a_n  ; a_{n - 1}; .... ; a₁ ; a₀ 

P(1) = a_{n +}  a_{n - 1}  +  ......... + a₁ + a₀ = 0 

Mà a₀ ; a₁  ; ..... ; a_{n - 1} ; a_n \(\geq\) 0

 \(​​\implies\)  a_n + a_{n - 1} + ... + a₁ + a_0 \(\geq\) 0

​​​\(​​\implies\)​  P(x) \(\geq\) 0

Dấu " = " xảy ra \(\iff\) a₀ = a₁  = ..... = a_{n - 1} = a_n = 0

  P(x) = 0 với mọi x \(\in\) R

 P(3) = 0 

 P(P(3)) = P(0) = 0

Vậy P(P(3)) = 0