Gọi (14n+3,21n+4)=d (d thuộc N) 
=>14n+3,21n+4 chia hết cho d 
=>3(14n+3)-2(21n+4)=1 chia hết cho d 
=>d=1 
Vậy 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n

Gọi \(ƯCLN\left(21n+4;14n+3\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}21n+4⋮d\\14n+3⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(21n+4\right)⋮d\\3\left(14n+3\right)⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}42n+8⋮d\\42n+9⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow42n+9-\left(42n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d.\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

do \(d\inℕ^∗\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(21n+4;14n+3\right)=1\)hay \(21n+4\)và \(14n+3\)nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(14n+3,21n+4)=d(d là số tự nhiên khác 0 ) => 14n+3 chia hết cho d và 21n+4 chia hết cho d => 21n+4-14n+3 chia hết cho d => 7n+1 chia hết cho d Suy ra 2(7n+1) chi hết cho d Suy ra 14n+2 chia hết cho d Mà 14n+3 chi hết cho d Suy ra 14n+3-14n+2 chi hết cho Suy ra 1 chia hết cho d, d là số tự nhiên Suy ra d=1 Vậy 14n+3 và 21n+4 nguyên tố cùng nhau

Vì 14n+3 và 21n+4 là số nguyên tố cùng nhau 

=> ƯCLN(14n+3;21n+4)=1

Gọi ƯCLN đó là a , ta có :

14n+3 chia hết cho a

21n+4 chia hết cho a

=> 3.(14n+3)=42n+9

2.(21n+4)=42n+8

=>42n+9-42n+8 chia hết cho a

=> 1 chia hết cho d

=> d=1

Vậy 14n+3 và 21n+4 là số nguyên tố cùng nhau

Đặt UCLN ( 14n + 3 ; 21n + 4 ) = d

=> 14n + 3 chia hết cho d ; 21n + 4 chia hết cho d

=> 3 ( 14n + 3 ) chia hết cho d ; 2 ( 21n + 4 ) chia hết chod 

=> 42n + 9 chia hết cho d; 42n + 8 chia hết cho d

=> 42n + 9 - 42n - 8 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 14n + 3 và 21n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Vì 14n+3 và 21n+4 là hai sô nguyên tố cùng nhau

=>ƯCLN(14n+3,21n+4)=1

Ta có:

Gọi UCLN của hai số đó là d

=>14n+3 chia hết cho d

    21n+4 chia hết cho d

=>3.(14n+3)=42n+9 chia hết cho d

    2.(21n+4)=42n+8 chia hết cho d

=>42n+9-42n+8 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau(ĐPCM)

a: Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n+4 và n+1

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\3n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+4-3n-3⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>n+1 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

b: Gọi d là ước chung lớn nhất của 7n+10 và 5n+7

=>\(\left\{{}\begin{matrix}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(35n+50-35n-49⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

c: Gọi d là ước chung lớn nhất của 14n+3 và 21n+4

=>\(\left\{{}\begin{matrix}14n+3⋮d\\21n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}42n+9⋮d\\42n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(42n+9-42n-8⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau