a.

- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)

- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m

b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được

c. 

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)

\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

8 - m = 12

tám - m = 12

tá = 12 

Vì 1 tá = 12

Nên với mọi m thì 8 - m = 12 

8 => tám 

tám - m = tá

tá => 12

=> đpcm

Gọi a là đại diện số lẻ.Có m=2a vì m là số chẵn
=>m^3 +20m= (2a)^3+20*2a=8a^3+40a

Xét 8a^3+40a
1-8a^3+40a
=8a^3 -2a+42a
=(2a+1)(2a-1)2a+42a
(2a+1)(2a-1)2a chia hết cho 3(vì là tích 3 số nguyên liên tiếp)(1)
42a chia hết cho 3(2)
Từ (1)(2)=>(2a+1)(2a-1)2a+42a chia hết cho 3
=>8a^3+40a chia hết cho 3(3)
2-8a^3 + 40a
=8*(a^3+5)
=> 8a^3 + 40a chia hết cho 8(4)
Có a là số lẻ suy ra a^3 là số lẻ,suy ra a^3+5 là tổng 2 số lẻ nên là số chẵn
=>a^3+5 chia hết cho 2=>8a^3 + 40a chia hết cho 2(5)
Từ (3)(4)(5)=>8a^3+40a chia hết cho 48
=>m^3 +20m chia hết cho 48 với m là số chẵn

đúng nhé

Mình nghĩ 2k+1 là đại diện của số lẻ chứ !

TH1: m chia 2 dư 1

=>9^m có chữ số tận cùng là 9

=>9^m chia 5 dư 4

=>9^m+1 chia hết cho 5

=>(9^m+1)(9^m+2)(9^m+3)(9^m+4) chia hết cho 5

TH2: m chia hết cho 2

=>9^m có chữ số tận cùng là 1

=>9^m+4 chia hết cho 5

=>(9^m+1)(9^m+2)(9^m+3)(9^m+4) chia hết cho 5

+) \(m⋮3\)

+) m ko chia hết cho 3 (1) (2) 

\(\Rightarrow m=3k+1\)hoặc \(m=3k+2\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)=3k+1-1=3k⋮3\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)=3k+2+1=3k+3=3\left(k+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right).m.\left(m+1\right)⋮3\)

mà \(\left(m-1\right).m.\left(m+1\right)⋮2\)

lại có : \(\left(2;3\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right).m.\left(m+1\right)⋮2;3\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right).m.\left(m+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow m^3-m⋮6\)

Câu hỏi của pham thuy trang - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath Em tham khảo bài làm tại link này nhé!

+) xét m chia hết cho 3=> m=3k(k thuộc N)

\(m^3-m=3k^3-3k⋮3\)

th1: k là số chẵn => 3k³-3k chẵn => 3k³-3k chia hết cho 2

th2: k là số lẻ => 3k³-3k chẵn => 3k³-3k chia hết cho 2

vì (3,2)=1 => m³-m chia hết cho 6

+) xét m ko chia hết cho 3 => m=3k+1 hay m=3k+2 (m thuộc N)

th1:m=3k+1

m³-m=m.(m²-1) =(3k+1).[(3k+1)²-1]=(3k+1).(9k²+6k) chia hết cho 3

th2:m=3k+2

m³-m=m.(m²-1)=(3k+2).[(3k+2)²-1]=(3k+2).(9k²+12k+3) chia hết cho 3

xét th1: k là số lẻ => 3k+1 chia hết cho 2 => m³-m chia hết cho 2

xét th2: k là số chẵn => 3k+2 chia hết cho 2 => m³-m chia hết cho 2

=> m³-m chia hết cho 6 vì (3,2)=1

Vậy m³-m chia hết cho 6 với mọi m là stn 

p/s: bài này bn CTV hoa làm sai , tuy nhiên lớp 6 làm đc bài này hiếm lắm_đối bn mấy bn lớp 6 bài này quá khó r :))

\(\Delta=m^2-4\left(m-3\right)=m^2-4m+12=m^2-4m+4+8=\left(m-2\right)^2+8>0\)

Vậy pt có 2 nghiệm pb 

ta có \(2m^4+2m+1\)

\(=2m^4-2m^2+\dfrac{1}{2}+2m^2+2m+\dfrac{1}{2}\)

\(=\left(2m^4-2m^2+\dfrac{1}{2}\right)+\left(2m^2+2m+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(m^4-m^2+\dfrac{1}{4}\right)+2\left(m^2+m+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=2\left(m^4+2.\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{4}\right)+2\left(m^2+2.\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=2\left(m^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge\forall m\) ( đpcm)