Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)

Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)

Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)

Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố

Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)

\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1

Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)

nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)

Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)

Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)

Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)

Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)

Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên 

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn

suy ra điều giả sử sai

Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố

tự giải vl

Ể vậy là tự hỏi tự trả lời luôn kì vậy ai chơi

Ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=ca^2+cb^2\)

\(\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)=b^2\left(c-a\right)\)

\(\Leftrightarrow ac=b^2\)

Thế vô ta được

\(a^2+b^2+c^2=a^2+2ac+c^2+b^2-2ac\)

\(=\left(a+c\right)^2-b^2=\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)

Làm nốt

\(\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow b\left(a^2+c^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^2b+bc^2=a^2c+b^2c\)

\(\Leftrightarrow a^2b-a^2c=b^2c-bc^2\Leftrightarrow a^2\left(b-c\right)=bc\left(b-c\right)\Leftrightarrow a^2=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)(đpcm)

Ta có : \(P=3\sqrt{6}\sqrt{\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}}\)   = \(3\sqrt{6}.Q\)

Thấy : \(a^2-b^2-c^2=\left(b+c\right)^2-b^2-c^2=2bc\) ( do a + b + c = 0 )

Suy ra : \(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{2bc}\) . CMTT : \(\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}=\frac{b^2}{2ac};\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{c^2}{2ab}\) 

Suy ra : \(Q=\sqrt{\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}}=\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}}=\sqrt{\frac{3abc}{2abc}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)  ( vì a + b + c = 0 )

Khi đó : \(P=3\sqrt{6}.\sqrt{\frac{3}{2}}=9\) là 1 số nguyên 

( Q.E.D) 

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)

Ta có 

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

=> ĐPCM

Mạnh Hùng hỏi được rồi á

Ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

   \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

   \(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0\)

   \(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{abc}=0\)

Mà \(a,b,c\)là số nguyên khác 0 \(\Rightarrow\)\(abc\ne0\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a+b=-c\)

Ta lại có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)

                                          \(=\left(a+b+c\right)^3-3.\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)\)

                                          \(=0-0-3ab\left(-c\right)\)

                                          \(=3abc⋮3\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc⋮3\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c=0\)