Trục căn thức ở mẫu:
a) \(\dfrac{x^2+x}{\sqrt{x+1}}\) với x > - 1; b) \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}\) với x > 0, x ≠ 4;
c) \(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\); d) \(\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\) với x > 0, x ≠ 3.
* Chứng minh đẳng thức
\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2\sqrt{x-1}\) với x ≥ 2
* Trục căn thức ở mẫu
a.\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}\)
b.\(\dfrac{2}{5-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
c.\(\dfrac{7}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\)
\(=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1+1}}+\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{x-1}-1\right|+\left|\sqrt{x-1}+1\right|\)
\(=\sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1\left(x\ge2\right)=2\sqrt{x-1}\)
a) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\)
c) \(\dfrac{7}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\dfrac{7}{2\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{7\left(2\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(2\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}\)
\(=\dfrac{14\sqrt{5}+7\sqrt{3}}{17}\)
Trục căn thức ở mẫu:
B = \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}\) C = \(\dfrac{5-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
D = \(\dfrac{\sqrt{a}+1}{2\sqrt{a}-1}\) E = \(\dfrac{15}{5\sqrt{3}-3\sqrt{5}}\)
\(B=\dfrac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}=-2-3\sqrt{5}-5=-7-3\sqrt{5}\)
\(C=\dfrac{5\sqrt{x}-x}{2x}\)
\(D=\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(2\sqrt{a}+1\right)}{4a-1}\)
\(E=\dfrac{15}{\sqrt{15}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{75}+\sqrt{45}}{2}\)
Trục căn thức ở mẫu:
a) $\dfrac{1}{\sqrt{a}+b}$;
b) $\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$;
c) $\dfrac{3}{2 \sqrt{a}+1}$;
d) $\dfrac{2 x y}{2 \sqrt{x}+3 \sqrt{y}}$.
a, căn a trừ b/ a-b^2
b, 2 căn a + 2 căn b /a-b
c, 6 căn a trừ 6 / 4a-1
a) căn a-b/a-b^2
b) 2(căn a+căn b)/a-b
c) 3(2 căn a-1)/4a-1
d)2xy(2 căn x-3 căn y)/4x-9y
a) √a -b /a-b²
b) 2√a+2b / a-b²
c) 6√a -3 / 4a-1
d) 4xy√x -6xy√y / 4x-9y
Trục căn thức ở mẫu (giải chi tiết):
F = \(\dfrac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
G = \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+b}\)
H = \(\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
K = \(\dfrac{2xy}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}\)
Trước hết, ta cần tính giá trị của a và b trong G và H:
$$G^2 = \frac{1}{a+b} \Rightarrow a+b = \frac{1}{G^2}$$
$$H^2 = 4a - 4\sqrt{ab} + 4b = 4(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \Rightarrow \sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{H}{2}$$
Từ đó, suy ra được:
$$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{1}{G}\sqrt{\frac{1}{G^2} + 4}$$
$$\Rightarrow 2\sqrt{a} = \frac{1}{G}\sqrt{\frac{1}{G^2} + 4} + H$$
$$\Rightarrow a = \left(\frac{1}{G}\sqrt{\frac{1}{G^2} + 4} + H\right)^2/4$$
$$\Rightarrow b = \left(\frac{1}{G}\sqrt{\frac{1}{G^2} + 4} - H\right)^2/4$$
Tiếp theo, ta tính giá trị của F:
$$F = 6\sqrt{3} + \sqrt{2} = 6\sqrt{3} + \sqrt{2}\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{6}$$
Cuối cùng, ta tính giá trị của K:
$$K = 2xy\left(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}\right) = 2\sqrt{xy}(4\sqrt{x} + 6\sqrt{y})$$
Vậy, ta đã tính được giá trị của F, G, H và K.
Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$ ; $\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ ; $\dfrac{2 a b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.
+ Ta có:
2√6−√5=2(√6+√5)(√6−√5)(√6+√5)26−5=2(6+5)(6−5)(6+5)
=2(√6+√5)(√6)2−(√5)2=2(√6+√5)6−5=2(6+5)(6)2−(5)2=2(6+5)6−5
=2(√6+√5)1=2(√6+√5)=2(6+5)1=2(6+5).
+ Ta có:
3√10+√7=3(√10−√7)(√10+√7)(√10−√7)310+7=3(10−7)(10+7)(10−7)
=3(√10−√7)(√10)2−(√7)2=3(10−7)(10)2−(7)2=3(√10−√7)10−7=3(10−7)10−7
=3(√10−√7)3=√10−√7=3(10−7)3=10−7.
+ Ta có:
1√x−√y=1.(√x+√y)(√x−√y)(√x+√y)1x−y=1.(x+y)(x−y)(x+y)
=√x+√y(√x)2−(√y)2=√x+√yx−y=x+y(x)2−(y)2=x+yx−y
+ Ta có:
2ab√a−√b=2ab(√a+√b)(√a−√b)(√a+√b)2aba−b=2ab(a+b)(a−b)(a+b)
=2ab(√a+√b)(√a)2−(√b)2=2ab(√a+√b)a−b=2ab(a+b)(a)2−(b)2=2ab(a+b)a−b.
\(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}=\frac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{6-5}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\)
\(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)}=\frac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{10-7}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)
\(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}\)
Trục căn thức ở mẫu và giả thiết các biểu thức đều có nghĩa:
\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\)
\(\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{10-7}=\dfrac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{6-5}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\)
Trục căn thức ở mẫu với giả thiết $a, b, x, y$ là những số dương:
a) $\dfrac{a}{\sqrt{a}}$;
b) $\dfrac{a}{\sqrt{a b}}$;
c) $\dfrac{x}{\sqrt{3 x^{3}}}$;
d) $\dfrac{4 y^{2}}{\sqrt{2 y^{5}}}$.
a, \(\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}\)
b, \(\frac{a}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
c, \(\frac{x}{\sqrt{3x^3}}=\frac{x}{x\sqrt{3x}}=\frac{1}{\sqrt{3x}}=\frac{\sqrt{3x}}{3x}\)
d, \(\frac{4y^2}{\sqrt{2y^5}}=\frac{4y^2}{y^2\sqrt{2y}}=\frac{4}{\sqrt{2y}}=\frac{4\sqrt{2y}}{2y}=\frac{2\sqrt{2y}}{y}\)
a)\(\dfrac{a}{\sqrt{a}}=\dfrac{a\sqrt{a}}{a}=\sqrt{a}\) b) \(\dfrac{a}{\sqrt{ab}}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{ab}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\) c) \(\dfrac{x}{\sqrt{3x^3}}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{\sqrt{3x^3.\sqrt{3x}}}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{\left(\sqrt{3x^2}\right)^2}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{\left(3x^2\right)^2}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{3x^2}=\dfrac{\sqrt{3x}}{3x}\)
a, căn a
b, căn ab/b
c, căn 3x/3x
d, 2 căn 2y/y
trục căn thức
a) \(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}};\dfrac{a+2}{\sqrt{a^2-4}};\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}};\dfrac{a}{\sqrt{x^2}}\) (n lẻ)
b) \(\dfrac{\sqrt{x^2-1}+1}{\sqrt{x^2-1}-1}\)
c) \(\dfrac{2}{\sqrt{7-2\sqrt{6}}}\)
a) \(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-1}\)
\(\dfrac{a+2}{\sqrt{a^2-4}}=\dfrac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a-2}}=\dfrac{\sqrt{a^2-4}}{a-2}\)
\(\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=\dfrac{x-y}{\sqrt{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}=\dfrac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}}=\dfrac{\sqrt{x^2-y^2}}{x+y}\)
\(\dfrac{a}{\sqrt{x^2}}=\dfrac{a}{\left|x\right|}\)
b) \(\dfrac{\sqrt{x^2-1}+1}{\sqrt{x^2-1}-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x^2-1}+1\right)^2}{x^2-2}\)
c) \(\dfrac{2}{\sqrt{7-2\sqrt{6}}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}-1}=\dfrac{2\left(\sqrt{6}+1\right)}{5}\)
Bài 1: rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
A=\(\dfrac{2b\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x+1}}{x-2\sqrt{x-1}}\) với x=3; y=\(\sqrt{2}\)
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu
a/\(\dfrac{25}{5-2\sqrt{3}}\) b/\(\dfrac{8}{\sqrt{5}+2}\) c/\(\dfrac{6}{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}\) d/\(\dfrac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}\) e/\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
bài 2:
a: \(\dfrac{25}{5-2\sqrt{3}}=\dfrac{125+10\sqrt{3}}{13}\)
b: \(\dfrac{8}{\sqrt{5}+2}=8\sqrt{5}-32\)
c: \(\dfrac{6}{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}=\dfrac{12\sqrt{3}+6\sqrt{7}}{5}\)
d: \(=\dfrac{\sqrt{3}\left(3\sqrt{3}-2\right)}{\sqrt{2}\left(3\sqrt{3}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\)
\(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{x-1-2}=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{x-3}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\)