bn áp dụng BĐT \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)

Nếu để cho dễ hiểu thì bn áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số k âm

Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\Rightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2\ge4\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\)

=>\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\ge2+4-3.2=0\)

=> đpcm

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết đề như trên khó theo dõi quá.

\(bdt< =>x\left(x+y\right)\le\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{y}< =>x^2-xy+y^2\ge xy\)

\(< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(dpcm)

Ta có :\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

=> \(\frac{1}{x}=\frac{y+z}{2yz}\)

=> 2yz = x(y + z)

=> 2yz - xy - xz = 0

=> (yz - xy) + (yz - xz) = 0

=> y(z - x) + z(y- x) = 0

=> y(z - x) = -z(y - x)

=> -y(x - z) = -z(y - x) 

=> \(\frac{-z}{-y}=\frac{x-z}{y-x}\Leftrightarrow\frac{z}{y}=\frac{x-z}{y-x}\) 

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2

=>2(xy+yz+xz)=0

=>xy+xz+yz=0

=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0

=>1/x+1/y+1/z=0

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:

\(\frac{x^6}{y^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{x^8y^2}{y^2}}=2x^4\)

\(\frac{y^6}{x^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{y^8x^2}{x^2}}=2y^4\)

Cộng từng các BĐT trên:

\(\frac{x^6}{y^2}+2x^2y^2+\frac{y^6}{x^2}\ge2x^4+2y^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+x^4+y^4+y^4-2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4+\left(x^2-y^2\right)^2\ge x^4+y^4\)

Vậy \(\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\))

Ta có:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\right)\ge0\left(1\right)\)

Đến đây có 2 cách giải quyết

Cách 1:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{xy}\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\left(true!!!\right)\)

Cách 2 là đặt ẩn:)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=4\)

\(\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

Khi đó ta có:

\(\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

Nếu \(t\ge2\Rightarrow t+1>0;t-2\ge0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

Nếu \(t\le-2\Rightarrow t+1< 0;t-2< 0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)>0\)

=> đpcm

coolkid cách 1 viết sai rồi nha Cool kid, phải là:

\(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\) (chú ý là (x - y)² chứ ko phải (x + y)² nha!)