Cho tứ diện ABCD lấy M thuộc BC, N thuộc AC. Mặt phẳng alpha đi qua M,N và mặt phẳng alpha song song với CD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng alpha với các mặt của tứ diện.
Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(BC\) và \(AD\). Gọi \(N,P,Q\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh \(AC,CD\) và \(DB\).
a) Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì \(MNPQ\) là hình thoi?
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).
\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.
b) Để \(MNPQ\) là hình thoi thì \(MN = NP\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}\)
Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\) thì \(MNPQ\) là hình thoi.
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng AC và BD
a) Tìm giao tuyến của \(\left(\alpha\right)\) với các mặt của tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) là hình gì ?
a) (α) // AC, AC ∈(ABC), M là điểm chung của ( α) và (ABC) => (α) ∩ (ABC) = MN // AC. Các giao tuyến sau tương tự
b) Thiết diện là hình bình hành MNPQ
Cho hình chóp SABCD; ABCD là hình thang; M là điểm thuộc đoạn BD; mặt phẳng alpha qua M và song song với SA và CB. Xác định thiết diện của alpha với hình chóp.
tại M kẻ đt //BC cắt AB tại I và CD tại K
tại M kẻ đt d // SA,cắt (SBC) tại N, qua N kẻ đt // IK và cắt SB tại E, cắt SC tại F.
Nối E,F,K,I ta đc 1 tứ giác là thiết diện của hình chóp :)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Mặt phẳng (α) qua M và song song với (SBD). Mặt phẳng (β) qua N và song song với (SBD).
a) Xác định thiết diện của hình chóp lần lượt cắt bởi mặt phẳng (α) và (β).
b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của AC với hai mặt phẳng nói trên. Chứng minh: AC = 2IJ.
a/ Qua M kẻ đường thẳng song song SD cắt AD tại P \(\Rightarrow\) P là trung điểm AD (t/c đường trung bình)
Qua M kẻ đường thẳng song song SB cắt AB tại Q thì Q là trung điểm AB
\(\Rightarrow\) MPQ là thiết diện của (\(\alpha\)) và chóp
Qua N kẻ đường thẳng song song SD cắt CD tại E \(\Rightarrow\) E là trung điểm CD
Qua N kẻ đường thẳng song song SB cắt BC tại F thì F là trung điểm BC
\(\Rightarrow\) NEF là thiết diện của \(\left(\beta\right)\) và chóp
b/ Gọi giao điểm của PQ và EF với AC lần lượt là I và J
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có PI và EJ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ADO và CDO
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IO=\frac{1}{2}AO\\JO=\frac{1}{2}CO\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IO+JO=\frac{1}{2}\left(AO+CO\right)\)
\(\Rightarrow IJ=\frac{1}{2}AC\)
Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P, Q
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC ?
Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc cạnh AC, điểm N thuộc cạnh CD. Mặt phẳng (∝) đi qua MN, song song với AB. Tìm thiết diện của (∝) với tứ diện ABCD.
A. Thiết diện là tam giác MNP, trong đó P là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng AB.
B. Thiết diện là tam giác MNP, trong đó P là giao điểm của đường thẳng BD với đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng AB.
C. Thiết diện là tam giác MNP, trong đó P là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng đi qua N và song song với đường thẳng BD.
D. Thiết diện là hình bình hành MNPQ.
cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AB, CD, E là điểm chia BC theo tỉ số BE/BC=1/2. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE). Tìm giáo tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BCD); mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABD)
Định chụp hình cơ cơ mà khá khó nhìn nên thoi đánh máy, bạn cố hiểu nhé
Từ H kẻ đường thẳng song song với ME cắt BC ở K
Từ K kẻ đường thẳng song song với EN cắt CD ở I
Nối I với H ta được mp (P) cần tìm
\(\left\{{}\begin{matrix}K\in HK\subset\left(HKI\right);K\in BC\subset\left(BCD\right)\\I\in KI\subset\left(HKI\right);I\in CD\subset\left(BCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(HKI\right)\cap\left(BCD\right)=KI\Rightarrow\left(P\right)\cap\left(BCD\right)=KI\)
Ta co \(\left\{{}\begin{matrix}H\in HK\subset\left(HKI\right);H\in AB\subset\left(ABD\right)\\KI//AB\end{matrix}\right.\)
=> Giao tuyen cua (P) va (ABD) la duong thang ua H va song song voi BD
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
a) + (α) // AC
⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.
Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).
⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).
+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).
+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).
+ (α) ∩ (ACD) = QP.
b)Ta có:
Suy ra, tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
a) Nhận xét:
Do giả thiết cho IJ không song song với CD và chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.
Gọi K = IJ ∩ CD.
Ta có: M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);
Vậy (MIJ) ∩ (ACD) = MK
b) Với L = JN ∩ AB ta có:
Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
Gọi P = JL ∩ AD, Q = PM ∩ AC
Ta có:
Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)
Vậy LQ = (ABC) ∩ (MNJ).
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.
a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD)
b) Chứng minh rằng d song song với BD
a) Gọi giao điểm của AM và BP là I, giao điểm của AN và DP là K.
Ta có IK đều thuộc mặt phẳng (AMN) và (BPD) suy ra IK là giao tuyến của hai mặt phẳng này.
Như vậy, d là đường thẳng đi qua I và K.
b) Ta có: \(mp\left( {AMN} \right) \cap mp\left( {BPD} \right) = IK\).
\(mp\left( {AMN} \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = MN\) \(\;\).
\(mp\left( {BPD} \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = BD\).
Mà MN // BD (do MN là đường trung bình của tam giác BCD) suy ra IK // BD.
Như vây, d song song với BD.