Áp dụng BĐT Cô si ta có: x > 0 => x + \(\dfrac{4}{x}\) \(\ge\) 2 . \(\sqrt{\dfrac{4x}{x}}\)

<=> x + \(\dfrac{4}{x}\)  \(\ge\) 4

Ta có: \(x+\dfrac{4}{x}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+4}{x}-\dfrac{4x}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\forall x>0\)(luôn đúng)

`x+4/x>=4`

`<=>x-4+4/x>=0`

`<=>(sqrtx)^2-2.sqrtx. 2/sqrtx+(2/sqrtx)^2>=0(x>0)`

`<=>(sqrtx-2/sqrtx)^2>=0`(luôn đúng)

`=>` đpcm

Dấu "=" `<=>x=2`

BĐT <=> 2(a²+b²+1) >= 2(ab+a+b)

<=> (a-b)² + (a-1)2 + (b-1)² >=0. dpcm

TL:

Chỗ tôi được phép sử dụng luôn ko cần chứng minh

HT

????

cho 1 vé báo cáo free nhé

là sao vậy?

Cần chứng minh: 

\(5\left(x-1\right)< x^5-1< 5x^4\left(x-1\right)\)

\(5\left(x-1\right)< \left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)< 5x^4\left(x-1\right)\)

\(5< x^4+x^3+x^2+x+1< 5x^4\)

Vì \(x>1\)

\(\Rightarrow x^4>x^3>x^2>x>1\)

Vậy ta có ĐPCM

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

<=>\(x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

<=>\(\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

<=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)

Bạn xem lại đề, đề của bạn không phải BĐT

Điều kiện đâu nhỉ ?

Chứng minh \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}với\left(x;y;z>0\right)\)

Thường thì sẽ sử dụng cái này nhiều nhất

Đầu tiên đi chứng minh 

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow a^2xy+\left(bx\right)^2+\left(ay\right)^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\\ \Leftrightarrow\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2-2abxy\ge0\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

Áp dụng 1 lần nữa ta có điều ở trên

Dấu $=$ xảy ra $⇔\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$