góc ABO+góc ACO=180 độ

=>ABOC nội tiếp

góc A chung

góc NBD=góc AEB

=>ΔABD đồng dạg vơi ΔAEB

=>AB/AE=AD/AB=BD/EB

Chứng minh tương tự, ta được: ΔACD đồng dạng với ΔAEC

=>AC/AE=CD/CE

mà AB=AC

nên AD/AB=AD/AC

=>BD/BE=CD/CE

=>BD*CE=BE*CD

góc M chung

góc MCN=góc MBC

=>ΔMCN đồng dạng với ΔMBC

=>MC/MB=MN/MC

=>MB*MN=MC^2=MA^2

=>MA/MB=MN/MA

=>ΔMAN đồng dạng với ΔMBA

=>góc MAN=góc MBA

=>BC là tiếp tuyến của (K)

=>BC vuông góc CK

Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)

=>\(\widehat{DOC}=90^0\)

=>ΔDOC vuông tại O

Gọi N là trung điểm của CD

ΔOCD vuông tại O

=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

mà N là trung điểm của CD

nên ΔOCD nội tiếp (N)

Xét hình thang ACDB có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB tại O

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)

=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

Sửa đề: góc ADM=1/2*góc COB

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

nên OM là phân giác của góc AOB

=>gócAOM=góc BOM

=>góc AOC=góc BOC

=>sđ cung AC=sđ cung BC

mà góc ADM=1/2*sđ cung AC

nên góc ADM=1/2*góc COB

a) Xét (O) có 

\(\widehat{CDA}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{CA}\)

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{CA}\)

Do đó: \(\widehat{CDA}=\widehat{ABC}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MBC}\)

Xét ΔMAD và ΔMCB có 

\(\widehat{MDA}=\widehat{MBC}\)(cmt)

\(\widehat{AMD}\) chung

Do đó: ΔMAD\(\sim\)ΔMCB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(MA\cdot MB=MC\cdot MD\)(đpcm)

Để chứng minh rằng CI = CH, ta sẽ sử dụng các tính chất của các đường tiếp tuyến và hình chiếu.

Vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên góc AOC là góc vuông. Do đó, tam giác AOC là tam giác vuông tại O.

Vì AD và CD là các tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ACD và góc AOD là góc vuông.

Vì H là hình chiếu của C trên AB, nên tam giác CHA và tam giác CDA là đồng dạng (có cạnh góc vuông chung và góc giữa các cạnh tương ứng bằng nhau).

Do đó, ta có:

∠CHA = ∠CDA (1)

Vì BD và CH là hai đường chéo của tứ giác ACDH, nên ta có:

∠BDC = ∠CHD (2)

Từ (1) và (2), ta có:

∠CHA = ∠CDA = ∠BDC = ∠CHD

Vậy, tam giác CHD và tam giác CHA là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có:

∠CHD = ∠CHA

Vì ∠CHA = ∠CDA, nên ta có:

∠CHD = ∠CDA

Vậy, tam giác CHD và tam giác CDA là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Từ đó, ta có:

CH/CD = CD/CHD

CH^2 = CD * CHD

Vì I là giao điểm của BD và CH, nên ta có:

∠CID = ∠CHD

Vậy, tam giác CID và tam giác CHD là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có:

CI/CD = CD/CHD

CI^2 = CD * CHD

Vậy, CI = CH.