\(ac=-6< 0\Rightarrow\) phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm pb (trái dấu)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)

Thế vào đề bài:

\(m-2-3\left(-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m+16=0\Leftrightarrow m=-16\)

\(x^2-\left(m-2\right)x-6=0\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m-2\right)\right]^2-4.\left(-6\right)\)

\(=m^2-4m+4+24=m^2-4m+28\)

\(=\left(m-2\right)^2+24\)

Thấy \(\left(m-2\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2+24>0\forall m\)

Vậy phương trình luân có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

Áp dụng \(Vi-ét \) ta có :

\(S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m-2\)

\(P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=-6\)

Ta có \(x_1+x_2-3.x_1.x_2=0\)

\(\Leftrightarrow m-2-3.\left(-6\right)=0\Rightarrow m=-16\)

\(\Delta'=1-\left(m-3\right)=4-m>0\Rightarrow m< 4\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1+x_2=2\Rightarrow x_2=2-x_1\)

Ta có:

\(x_1^2+x_1x_2=2x_2-12\)

\(\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)=2\left(2-x_1\right)-12\)

\(\Leftrightarrow2x_1=4-2x_1-12\)

\(\Leftrightarrow4x_1=-8\Rightarrow x_1=-2\Rightarrow x_2=4\)

Thế vào \(x_1x_2=m-3\Rightarrow m-3=-8\)

\(\Rightarrow m=-5\)

bạn xem lại biểu thức trong đề bài 

a, Ta có : \(mx^3-x^2+2x-8m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^3-8\right)-\left(x^2-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx^2+2mx+4m-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx^2+x\left(2m-1\right)+4m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\mx^2+x\left(2m-1\right)+4m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(TM\right)\\mx^2+x\left(2m-1\right)+4m=0\left(I\right)\end{matrix}\right.\)

- Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

<=> Phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .

- Xét phương trình ( I ) có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(2m-1\right)^2-4m.4m\)

\(=4m^2-4m+1-16m^2=-12m^2-4m+1\)

- Để phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}< m< \dfrac{1}{6}\) ( * )

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1-2m}{m}\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

- Để phương trình ( I ) có nghiệm lớn hơn 1 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-1+x_2-1>0\\\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-4m}{m}>0\\5-\dfrac{1-2m}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-4m}{m}>0\\\dfrac{7m-1}{m}>0\end{matrix}\right.\)

- Lập bảng xét dấu ( đoạn này làm tắt tí nha :vv )

Từ bảng xét dấu ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\\0< m< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

- Kết hợp điều kiện ( * ) ta được :\(\dfrac{1}{7}< m< \dfrac{1}{6}\)

Vậy ...

b, - Xét phương trình trên có : \(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-2\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=m^2-4m+4-m^2+m+3m-3=1>0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

- Để \(x_1+x_2+x_1x_2< 1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)+\left(m-3\right)-\left(m-1\right)}{m-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\)

- Đặt \(\dfrac{2m-6}{m-1}=f\left(m\right)\)

Cho f(m) = 0 => m = 3

m-1 = 0 => m = 1

- Lập bảng xét dầu :

m.............................1..........................................3...................................

2m-6............-..........|......................-.....................0...................+.................

m-1..............-............0...................+.....................|....................+.................

f(m).............+...........||..................-........................0................+....................

- Từ bảng xét dầu ta được : Để \(f\left(m\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow1< m< 3\)

Vậy ...

a) Có: `\Delta'=(m-2)^2-(m^2-4m)=m^2-4m+4-m^2+4m=4>0 forall m`

`=>` PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi `m`.

b) Viet: `x_1+x_2=-2m+4`

`x_1x_2=m^2-4m`

`3/(x_1) + x_2=3/(x_2)+x_1`

`<=> 3x_2+x_1x_2^2=3x_1+x_1^2 x_2`

`<=> 3(x_1-x_2)+x_1x_2(x_1-x_2)=0`

`<=>(x_1-x_2).(3+x_1x_2)=0`

`<=> \sqrt((x_1+x_2)^2-4x_1x_2) .(3+x_1x_2)=0`

`<=> \sqrt((-2m+4)^2-4(m^2-4m)) .(3+m^2-4m)=0`

`<=>  4.(3+m^2-4m)=0`

`<=> m^2-4m+3=0`

`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy `m \in {1;3}`.

Phương trình là: \(x^2-mx-2=0\) đúng ko em nhỉ?

\(\Delta=m^2+8>0;\forall m\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x_1x_2+2x_1+2x_2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-2+2m=4\)

\(\Leftrightarrow2m=6\)

\(\Leftrightarrow m=3\)

\(\Delta'=1+m^2-1=m^2>0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm pb khi \(m\ne0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2+1\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2x_1-m^2+1=0\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1+x_1=0\)

\(\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1=-x_1\)

Thế vào bài toán:

\(\left(2x_1-x_2\right)\left(-x_1+2x_2\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow-2x_1^2-2x_2^2+5x_1x_2=-3\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x_1+x_2\right)^2+9x_1x_2=-3\)

\(\Leftrightarrow-8+9\left(-m^2+1\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Rightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)