\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(m-3\right)=4-4m+12=-4m+16\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>-4m+16>0
=>-4m>-16
=>m<4
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12\)
=>\(x_1^2-x_2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2=-12\)
=>\(x_1^2-x_2^2=-12\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=-12\)
=>\(x_1-x_2=-6\)
mà \(x_1+x_2=2\)
nên \(x_1=\dfrac{-6+2}{2}=-2;x_2=x_1+6=-2+6=4\)
\(x_1x_2=m-3\)
=>m-3=-8
=>m=-5(nhận)
TK:
Để giải phương trình bậc hai \(x^2 - 2x + m - 3 = 0\) và tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta sẽ sử dụng công thức delta.
Công thức delta của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) là:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Ứng với phương trình \(x^2 - 2x + m - 3 = 0\), ta có \(a = 1\), \(b = -2\), và \(c = m - 3\).
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) \]
\[ \Delta = 4 - 4(m - 3) \]
\[ \Delta = 4 - 4m + 12 \]
\[ \Delta = -4m + 16 \]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \(\Delta\) phải lớn hơn 0.
\[ -4m + 16 > 0 \]
\[ -4m > -16 \]
\[ m < 4 \]
Vậy, để phương trình có hai nghiệm phân biệt, giá trị của \(m\) phải nhỏ hơn \(4\).
Tiếp theo, để tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình \(x_1^2 - 2x_2 + x_1x_2 = -12\) thỏa mãn, ta sẽ sử dụng công thức để tính giá trị của \(x_1\) và \(x_2\). Tuy nhiên, để tiện cho việc giải, ta sẽ đặt \(x_1 = a\) và \(x_2 = b\) để phương trình trở thành \(a^2 - 2b + ab = -12\).
Đầu tiên, ta thấy rằng \(a^2 - 2b + ab = (a - 2)(a - b) = -12\). Khi đó, ta cần tìm hai số nguyên \(a\) và \(b\) sao cho \(a - 2\) và \(a - b\) có tích bằng \(-12\). Ta có các bộ số nguyên sau:
1. \(a - 2 = -1\), \(a - b = 12\) (với \(a = 1\), \(b = -11\))
2. \(a - 2 = -2\), \(a - b = 6\) (với \(a = 0\), \(b = -6\))
3. \(a - 2 = -3\), \(a - b = 4\) (với \(a = -1\), \(b = -5\))
4. \(a - 2 = -4\), \(a - b = 3\) (với \(a = -2\), \(b = -5\))
5. \(a - 2 = -6\), \(a - b = 2\) (với \(a = -4\), \(b = -6\))
6. \(a - 2 = -12\), \(a - b = 1\) (với \(a = -10\), \(b = -11\))
Do đó, các cặp nghiệm phân biệt là \((1, -11)\), \((0, -6)\), \((-1, -5)\), \((-2, -5)\), \((-4, -6)\), \((-10, -11)\).
Tuy nhiên, ta cũng cần kiểm tra điều kiện đầu tiên đã tìm ra là \(m < 4\). Vậy ta sẽ loại bỏ đi giá trị \(m\) tương ứng với các nghiệm không thỏa mãn điều kiện \(m < 4\). Như vậy, ta chỉ giữ lại các giá trị \(m\) cho các cặp nghiệm \((1, -11)\), \((0, -6)\), \((-1, -5)\).
Kết luận, giá trị của \(m\) phải nhỏ hơn \(4\) và chỉ có thể là \(m = 1, 0, -1\).
