\(9.10^n+18\)

\(=9.10^n+9.2\)

\(=9\left(10^n+2\right)\)

Ta thấy : \(10^n+2\ge3\)

\(\Rightarrow9\left(10^n+2\right)\)chia hết cho 3

ta có 10^n có dạng 1000..0

=> 9.10^n có dạng 90...0

từ đó ta có 9.10^n +18 sẽ có dạng 900...018

=> 27:9,3 => 900...018:9,3

=> 9.10^n+18:27

Ta có: \(9.10^n+18=9\left(10^n+2\right)\) chia hết cho 9 

Xét \(10^n+2=100...00+2=100...02\)

                           (n chữ số 0)            (n-1 chữ số 0)

=> \(\left(10^n+2\right)⋮3\) vì có 1+0+0+...+0+2=3 chia hết cho 3 

=>\(9.10^n+18\) chia hết cho 9.3=27

n = 0 => (1) = 9 .1 + 18 = 27 chia hết cho 27 
n = 1 => (1) = 9 .10 + 18 = 108 chia hết cho 27 
đặt k = n , ta giả sử 9.10^k + 18 chia hết cho 27 
ta chứng minh 9.10^(k + 1) +18 chia hết cho 27 
= 10.9.10^(k) +18 = 9.10^k + 18 + 9.9.10^k = { 9.10^k + 18 } + { 81.10^k } 
cả 2 nhóm đều chia hết cho 27 => đpcm 

a) 9.10ⁿ + 18 = 9(10ⁿ + 2) \(⋮\) 9

Mặt khác: 9(10ⁿ + 2) = 3.3(10ⁿ + 2)\(⋮\) 3

=> 9.10ⁿ + 18 \(⋮\) 9.3

=> 9.10ⁿ + 18 \(⋮\) 27.

b) 9²ⁿ + 14 = 81ⁿ + 14.

Vì 81ⁿ có chữ số tận cùng là 1 nên 81ⁿ + 14 có chữ số tận cùng là 5.

=> 81ⁿ + 14 \(⋮\) 5

=> 9²ⁿ + 14 \(⋮\) 5

c: \(1^3+7^3+3^3+5^3\)

\(=\left(1+7\right)\left(1^2-1\cdot7+7^2\right)+\left(3+5\right)\cdot\left(3^2-3\cdot5+5^2\right)\)

\(=8\cdot\left(1-7+49+9-15+25\right)⋮2^3\)(đpcm)