Cho \(m=\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}\)
Tính m biết \(x=\sqrt{20,14+\sqrt{20,15}},n=3\)
Khi \(m=1901\)và \(n=2014\), tính \(D=\frac{x^{2n}-x^{-2n}}{x^{2n}+x^{-2n}}\)
cho\(\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}\)= m với mọi n thuộc N*
tính P=\(\frac{x^{2n}-x^{-2n}}{x^{2n}+x^{-2n}}\)theo m
ta có
1+m = \(\frac{2x^n}{x^n+\frac{1}{x^n}}\), 1-m = \(\frac{2}{x^n\left(x^n+\frac{1}{x^x}\right)}\)
=> \(\frac{1+m}{1-m}\)= x2n
do đó P = \(\frac{\frac{1+m}{1-m}-\frac{1-m}{1+m}}{\frac{1+m}{1-m}+\frac{1-m}{1+m}}\)= \(\frac{\left(1+m\right)^2-\left(1-m\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\). \(\frac{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}{\left(1+m\right)^2+\left(1-m\right)^2}\)
= \(\frac{2m}{1+m^2}\)
Đặt x 2n = a ta có
\(\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}=\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}=\frac{a-1}{a+1}=m\)
\(\Leftrightarrow a-1=m\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-m\right)=1+m\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{1+m}{1-m}\)
Ta lại có
\(\frac{x^{2n}-x^{-2n}}{x^{2n}+x^{-2n}}=\frac{x^{4n}-1}{1+x^{4n}}=\frac{a^2-1}{1+a^2}\)
Tới đây thì e chỉ cần thế vô rồi rút gọn là ra nhé
\(\Leftrightarrow!m!< 1\)
\(\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}=\frac{\left(x^{2n}-1\right)}{\left(x^{2n}+1\right)}=x^{2n}=\frac{m+1}{1-m}=>x^2=\sqrt[n]{\frac{m+1}{1-m}}\)
\(P=\frac{x^{4n}-1}{x^{4n}+1}=\frac{\left(\frac{m+1}{1-m}\right)^2-1}{\left(\frac{m+1}{1-m}\right)^2+1}=\frac{\left(m+1\right)^2-\left(1-m\right)^2}{\left(m+1\right)^2+\left(1-m\right)^2}=\frac{2m}{m^2+1}\\ \)
Tính
\(A=\frac{2n\sqrt{x^2}-4}{x-\sqrt{x^2-4}}\) nếu \(x=\sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}}\)
Ta phải có m , n > 0 để m/n > 0 và n/m > 0 ta được:
\(\sqrt{x^2-4}=\sqrt{\frac{\left(m-n\right)^2}{mn}}=\frac{|m-n|}{\sqrt{mn}}\)
\(A=\frac{2n.\frac{|m-n|}{\sqrt{mn}}}{\left(\sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}}\right)-\frac{|m-n|}{\sqrt{mn}}}\)
\(=\frac{2n|m-n|}{\sqrt{mn}\left(\sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}}\right)-|m-n|}\)
\(=\frac{2n|m-n|}{\left(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2}\right)-|m-n|}\)
Đến đây ta xét hai trường hợp:
+ TH1: m > 0 và n > 0
Khi đó \(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2}=m+n\)
và \(A=\frac{2n.|m-n|}{m+n-|m-n|}\)
Nếu \(m\ge n>0\Rightarrow|m-n|=n-m\) do đó: A = m - n
Nếu \(0< m< n\Rightarrow|m-n|=n-m\) do đó\(A=\frac{n\left(n-m\right)}{m}\)
Còn TH2: m < 0 ; n < 0 bạn tự giải nốt:vv
Bé Mon: Giải hết luôn trường hợp 2 cho mình đi
Trần Văn Huy người ta giải cho là tốt rồi bạn ko thể tự động não à
Gọi M là giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\) và N là giá trị lớn nhất của \(\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+2}\) biểu thức nào dưới đây đúng?vì sao?
A.M+3N=2 B.M-2N=1 C.2M+N=3 D.2N+M=3
Lời giải:
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=\frac{\sqrt{x}+4-3}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}$
Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+4\geq 4$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}\geq 1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
Vậy $M=\frac{1}{4}$
------------------
$N=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}$
Do $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}\leq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
Vậy $N=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2M+N =2.\frac{1}{4}+\frac{5}{2}=3$
Đáp án C.
Tính giới hạn
a, \(Lim_{n->+\infty}\frac{1+sin\left(n\right)+2^{n+2}}{2-2n+2^n}\)
b,\(Lim_{x->0}\frac{e^x-1-xcos\left(x\right)}{x\left(e^{2x}-1\right)}\)
c,\(Lim_{n->+\infty}\sqrt[2n]{8^n+9^n}\)
d,\(Lim_{x->0}\frac{\ln\left(1+x\right)-xe^3}{x\tan\left(2x\right)}\)
Tính giới hạn
a, \(Lim_{n->+\infty}\frac{1+sin\left(n\right)+2^{n+2}}{2-2n+2^n}\)
b,\(Lim_{x->0}\frac{e^x-1-xcos\left(x\right)}{x\left(e^{2x}-1\right)}\)
c,\(Lim_{n->+\infty}\sqrt[2n]{8^n+9^n}\)
d,\(Lim_{x->0}\frac{\ln\left(1+x\right)-xe^3}{x\tan\left(2x\right)}\)
CMR: với \(y=\frac{x^n+\frac{1}{x^n}}{x^n-\frac{1}{x^n}}\)thì \(\frac{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}=\frac{y^2+1}{2y}\)
Tính chất
1. x0 = 1 ; x1 = x
2. xn . xm = xn+m
3. xn : xm = xn-m (x # 0, n>=m)
4. (xn)m = xn.m
5. (x.y)n = xn . yn
6. \(\left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x}{y^n}^n\left[\left(x:y\right)^n=x^n:y^n\right]\)
7. xn = yn => x=y
8. x2n = y2n => x=y hoặc x=-y
9. xn >= xm (x>1) => n>=m
xn >= xm (0<x<1) => n<=m
10. \(\text{x2n >= 0}^{2n}\ge0vớimọix\in R\)
11. x2n + m >= m
12. xn = xm => n=m
13. \(x^n\ge x^m=>\frac{1}{x^n}\le\frac{1}{x^m}\)
14. \(\frac{1}{x^n}=x^{-n}\)
15. \(\left(\frac{x}{y}\right)^{-n}=\left(\frac{y}{x}\right)^n\)
16. (-x)2n =x2n
17. \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\left(a,b\in Z,b\ne0\right)\)
Cho hai đa thức :
M( x) = 3x3 + 6x2 - 3 x + 2
N( x) = 4x3 - 4x2 - 8x + 5
a/ Tính M(x) + N(x)
b/ Tính M(x) – N(x)
a)\(M\left(x\right)+N\left(x\right)=7x^3+2x^2-11x+7\)
b)\(M\left(x\right)-N\left(x\right)=-x^3+10x^2+5x-3\)
Chứng minh rằng nếu \(y=\frac{x^n+\frac{1}{x^n}}{x^n-\frac{1}{x^n}}\) thì \(\frac{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}=\frac{y^2+1}{2y}\)
\(y=\frac{x^n+\frac{1}{x^n}}{x^n-\frac{1}{x^n}}=\frac{x^{2n}+1}{x^{2n}-1}\)
Xét \(y^2+1=\left(\frac{x^{2n}+1}{x^{2n}-1}\right)^2+1=\frac{x^{4n}+2x^{2n}+1}{x^{4n}-2x^{2n}+1}+1=\frac{2\left(x^{4n}+2\right)}{x^{4n}-2x^{2n}+1}\)
\(\Rightarrow\frac{y^2+1}{2y}=\frac{2\left(x^{4n}+1\right)}{x^{4n}-2x^{2n}+1}.\frac{x^{2n}-1}{2\left(x^{2n}+1\right)}=\frac{x^{4n}+1}{\left(x^{2n}-1\right)^2}.\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}=\frac{x^{4n}+1}{x^{4n}-1}=\frac{\frac{x^{4n}+1}{x^{2n}}}{\frac{x^{4n}-1}{x^{2n}}}=\frac{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}\)
Bạn thêm điều kiện x khác 0 nữa nhé