Đặt A = n^2019 - n^2016 + n^2013 - ... + n^3 - 1
A = n^2016( n^3 - 1 ) + ... + (n^3 - 1)
A = (n^2016 + n^2010 + ... + 1)(n^3 - 1) chia hết cho n^3 - 1

Đặt B = n^2016 - n^2013 + ... - n^3
B = n^2013( n^3 - 1 ) + ... + n^3( n^3 - 1 )
B = (n^2013 + n^2007 + ... + n^3)(n^3 - 1) chia hết cho n^3 - 1
Suy ra A + B chia hết cho n^3 - 1
Lại có A + B = n^2019 -1 nên n^2019 -1 chia hết cho n^3 - 1

ko bít

\(\frac{19n+7}{7n+1}\)không là số tự nhiên với mọi n bạn nhé

VD : đặt n = 1 ta có phân số \(\frac{19+7}{7+1}=\frac{26}{8}\)không là số tự nhiên

Bạn xem lại đề nhé

Trả lời ngắn tí như ri này:

Ta có:\(3.25^n.5\) =\(15.25^n\) \(\equiv15.8^n\left(mod17\right)\) .

\(2^{3n+1}=8^n.2\left(mod17\right)\) .

\(\Rightarrow3.5^{2n+1}+2^{3n+1}\equiv15.8^n+2.8^n\left(mod17\right)\) .

\(=17.8^n\) chia hết cho 17 \(\forall\) so nguyên n.

\(3\cdot5^{2n+1}+2^{3n+1}=3\cdot5^{2n}\cdot5+2^{3n}\cdot2=15\cdot25^n+8^n\cdot2\)

\(=\left(17-2\right)\cdot25^n+8^n\cdot2=17\cdot25^n-2\cdot25^n+8^n\cdot2=17\cdot25^n-2\left(25^n-8^n\right)\)

\(=17\cdot25^n-2\left(25-8\right)\left(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot8+25^{n-3}\cdot8^2+...+8^{n-1}\right)\)

\(=17\cdot25^n-34\left(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot8+25^{n-3}\cdot8^2+...+8^{n-1}\right)\)

vì 17 chia hết cho 17 nên 17*25^n chia hết cho 17(1)

vì 34 chia hts cho 17 nên 34(25^n-1+25^n-2*8+25^n-3*8^2+...+8^n-1) chia hết cho 17

\(\Rightarrow17\cdot25^n-34\left(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot8+25^{n-3}\cdot8^2+...+8^{n-1}\right)\)chia hết cho 17

\(\Rightarrow3\cdot5^{2n+1}+2^{3n+1}\)chia hết cho 17 (đpcm)

A=\(n^3+6n^2-19n-24\)

\(=n\left(n^2-1\right)+6\left(n^2-3n-4\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6\left(n-4\right)\left(n+1\right)\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số liên tiếp nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

=>A chia hết cho 6

Ta có (n² + 3n - 1)(n + 2) - n³ + 2 

= n³ + 3n² - n + 2n² + 6n - 2 - n³ + 2

= 5n² + 5n = 5n(n + 1) \(⋮5\)

Với n = 0

\(\Rightarrow3.5^{2.0+1}+2^{3.0+1}=3.5+2=15+2=17⋮17\Rightarrow\)đúng với n = 0

Giả sử \(3.5^{2n+1}+2^{3n+1}\) đúng với n = k \(\in\) N*

\(\Rightarrow3.5^{2k+1}+2^{3k+1}⋮17\)

C/m : \(3.5^{2n+1}+2^{3n+1}\) đúng với n = k + 1 ( k \(\in\) N* )

Ta có :

\(3.5^{2n+1}+2^{3n+1}=3.5^{2\left(k+1\right)+1}+2^{3\left(k+1\right)+1}\)

\(=3.25.5^{2k+1}+8.3^{3k+1}=3.25.5^{2k+1}+25.2^{3k+1}-17.2^{3k+1}\)

\(=25\left(3.5^{2k+1}+2^{3k+1}\right)-17.2^{3k+1}\)

Vì : \(17.2^{3k+1}⋮17\) ; \(3.5^{2k+1}+2^{3k+1}⋮17\) theo phương pháp quy nạp

\(\Rightarrow3.5^{2\left(k+1\right)+1}+2^{3\left(k+1\right)+1}⋮17\)

Vậy ...