Điều kiện \(0< a,b,c\le9\) và \(a\ne b,\)\(b\ne c,\)\(c\ne a.\)

Ta viết lại \(\frac{\overline{ab}}{\overline{ca}}=\frac{b}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(10a+b\right)c=\left(10c+a\right)b\)\(\Leftrightarrow\)\(10ac-10bc=ab-bc\)

\(\Leftrightarrow\)\(2.5c\left(a-b\right)=b\left(a-c\right)\)(1)

Do \(c\ne0\) và \(a\ne b\) nên \(b\left(a-c\right)\) chia hết cho 5. Xảy ra 3 trường hợp:

- TH1: \(b\) chia hết cho 5, mà \(0< b\le9\) \(\Rightarrow\)\(b=5.\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2.5.c\left(a-5\right)=5\left(a-c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(2c\left(a-5\right)=a-c\)\(\Leftrightarrow\)\(2ac-a-9c=0\)(2)

\(\Leftrightarrow\)\(a=2ac-9c=c\left(2a-9\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(c=\frac{a}{2a-9}\)

Mặt khác (2) \(\Leftrightarrow\)\(2ac=a+9c\)\(\Leftrightarrow\)\(2c=\frac{a+9c}{a}=1+\frac{9c}{a}=1+\frac{\frac{9a}{2a-9}}{a}=1+\frac{9}{2a-9}\)

Do \(2c>0\) nên \(2a-9>0,\) do đó \(2a-9\in\left\{3;9\right\}\)Ta có \(2a-9\ne1\) vì \(a\ne c.\)

Ta tìm được \(\left(a;b;c\right)=\left(6;5;2\right),\left(9;5;1\right).\)

- TH2: \(a-c\) chia hết cho 5 nên \(a-c=5\)\(\Rightarrow\)\(a=c+5\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2c\left(c+5-b\right)=b\)\(\Leftrightarrow\)\(b=\frac{2c^2+10c}{2c+1}\)\(\Leftrightarrow\)\(2b=2c+9-\frac{9}{2c+1}\)

Suy ra \(2c+1\in\left\{3;9\right\}\) do \(c\ne0.\) Tìm được \(\left(a;b;c\right)=\left(6;4;1\right),\left(9;8;4\right).\)

- TH3: \(c=a+5\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+5\right)\left(a-b\right)=-b\)\(\Leftrightarrow\)\(b=\frac{2a^2+10a}{2a-9}\)\(\Leftrightarrow\)\(2b=2a+19-\frac{9.19}{2a-9}\)

Suy ra \(b>9,\) ta không xét.

Vậy có 4 bộ số thỏa đề bài: \(\left(a;b;c\right)=\left(6;5;2\right),\left(9;5;1\right),\left(6;4;1\right),\left(9;8;4\right).\)

a;b;c=(9;5;1),(9;8;4),(6;4;1),(6;5;2)

a;b;c=(9;5;1),(9;8;4),(6;4;1),(6;5;2) là kết quả đúng đó !!!

bn cs đùa ko đấy?

Bạn thử làm với 18/58 thử nào

Có : \(\dfrac{\overline{ab}}{\overline{bc}}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow\dfrac{10a+b}{10b+c}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{9a+b}{10b}\)( áp dụng dãy tỉ số bằng nhau)

\(=\dfrac{111...11.\left(9a+b\right)}{111..11.10b}\)(có n chữ số 1 trong số 111..111)

\(\dfrac{999..99a+111..11b}{111..110b}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{999..99a+a+111..11b}{111..110b+c}=\dfrac{100...000a+111...11b}{111..110b+c}\)=\(\dfrac{\overline{abbb...bb}}{\overline{bbb..bbc}}=\dfrac{a}{c}\)

ta có : ab/bc=a.b/b.c=a/c <=> abbbb..b/bbb.bc=a.b.b.....b/b.b.b....b.c=a/c

Bài 1:

$1+2+3+...+n=\overline{aaa}$

$\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}=a.111$

$\Leftrightarrow n(n+1)=a.222\vdots 37$ nên suy ra $n\vdots 37$ hoặc $n+1\vdots 37$

Nếu $n\vdots 37$. Đặt $n=37k$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Khi đó: $37k(37k+1)=222a\Rightarrow k(37k+1)=6a$

$6a\leq 54$ do $a\leq 9; 37k+1\geq 38$ do $k\geq 1$

$\Rightarrow k=\frac{6a}{37k+1}< 2\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow 6a=38$ (vô lý)

Nếu $n+1\vdots 37$. Đặt $n+1=37k$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Khi đó: $(37k-1).37k=222a\Rightarrow k(37k-1)=6a$

$6a\leq 54$ do $a\leq 9$; $37k-1\geq 36$ do $k\geq 1$

$\Rightarrow k=\frac{6a}{37k-1}< 2\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow n=36; a=6$

Bài 2: $5z=7z$ hình như sai, bạn coi lại đề.

Bài 3:

\(\frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{\overline{bc}}{b+c}\Leftrightarrow \frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow \frac{9a+(a+b)}{a+b}=\frac{9b+(b+c)}{b+c}\Leftrightarrow \frac{9a}{a+b}+1=\frac{9b}{b+c}+1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow ab+ac=ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (đpcm)

Bài 2 sau khi đã sửa đề thành $5x=7z$:

Ta có:
\(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}(1)\)

\(5x=7z\Leftrightarrow \frac{x}{7}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow \frac{x}{21}=\frac{z}{15}(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}$ và đặt bằng $k$

$\Rightarrow x=21k; y=14k; z=15k$

Khi đó:

$x-2y+z=32$

$\Leftrightarrow 21k-28k+15k=32\Leftrightarrow 8k=32\Rightarrow k=4$

$\Rightarrow x=21k=84; y=14k=56; z=15k=60$

Bài làm xuất sắc.

2) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{ab}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{a}=\frac{ab+bc+ca}{b+c+a}=\frac{\left(10a+b\right)+\left(10b+c\right)+\left(10c+a\right)}{a+b+c}=\frac{11.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)

\(\Rightarrow\begin{cases}ab=11b\\bc=11c\\ca=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a+b=11b\\10b+c=11c\\10c+a=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a=10b\\10b=10c\\10c=10a\end{cases}\)\(\Rightarrow10a=10b=10c\)

=> a = b = c (đpcm)

soyeon_Tiểubàng giải bạn giúp bn ấy ik trong đó có câu 2 mk cần ó

1) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{ab}{bc}=\frac{b}{c}=\frac{ab-b}{bc-c}=\frac{\left(10a+b\right)-b}{\left(10b+c\right)-c}=\frac{10a}{10b}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)