Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{19,6t - 4,9{t^2} - 19,6{t_0} + 4,9t_0^2}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{ - 4,9\left( {{t^2} - t_0^2} \right) + 19,6\left( {t - {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left( { - 4,9t - 4,9{t_0} + 19,6} \right)}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( { - 4,9t - 4,9{t_0} + 19,6} \right) =  - 9,8{t_0} + 19,6\)

Vậy hàm số \(h = 19,6t - 4,9{t^2}\) có đạo hàm là hàm số \(h' =  - 9,8{t_0} + 19,6\)

Độ cao của vật khi nó chạm đất thỏa mãn \(19,6t - 4,9{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.\)

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là \( - 9,8.4 + 19,6 =  - 19,6\) (m/s)

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s.

a. Ta có: \(W=W_t+W_d=mgh_0+\dfrac{1}{2}mv^2\)

Theo đề bài: \(W_t=W_d\)

\(\Rightarrow W_t=\dfrac{W}{2}=\dfrac{mgh_0+\dfrac{1}{2}mv^2}{2}\)

\(\Rightarrow mgh=\dfrac{mgh_0+\dfrac{1}{2}mv^2}{2}\)

\(\Rightarrow h=\dfrac{h_0}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{v^2}{g}=\dfrac{20}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{30^2}{10}=32,5m\)

b. Chọn thế năng ở mặt đất.

Độ cao cực đại:

\(mgz_{max}=mgz+\dfrac{1}{2}mv^2\Rightarrow z_{max}=z+\dfrac{v^2}{2g}=20+\dfrac{30^2}{2\cdot10}=65m\)

a) 

Cơ năng tại O (vị trí ném): \(W_o=\dfrac{1}{2}mv_o^2+mgz_o\)

Cơ năng tại B (mặt đất): \(W_B=\dfrac{1}{2}mv_B^2\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại O và A ta có:

\(W_O=W_B\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2}mv_O^2+mgz_o=\dfrac{1}{2}mv_B^2\Leftrightarrow v_O^2=2gh\Rightarrow h=\dfrac{v_B^2-v_O^2}{2g}=25m\)

b) Khi đạt độ cao cực đại thì vtoc vật = 0

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}mv_B^2=mgh_{cđ}\Leftrightarrow h_{cđ}=\dfrac{v_B^2}{2g}=45m\)

c) \(W_đ=W_t\Leftrightarrow W_đ=\dfrac{1}{2}W_B\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}mv_B^2\Leftrightarrow v=10\sqrt{2}\left(\dfrac{m}{s}\right)\)

a)Cơ năng vật:

\(W=W_đ+W_t=\dfrac{1}{2}mv^2+mgz=\dfrac{1}{2}\cdot0,5\cdot25^2+0,5\cdot10\cdot0=156,25J\)Độ cao cực đại:

\(W=mgh_{max}\)

\(\Rightarrow h_{max}=\dfrac{156,25}{0,5\cdot10}=31,25m\)

b)Để \(W_t=W_đ\Rightarrow mgz=\dfrac{1}{2}mv^2\)

\(\Rightarrow z=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{25^2}{2\cdot10}=31,25m\)

đề có cho tại độ cao ban đầu nào không em

a) Độ cao cực đại mà vật đạt được : ( v = 0 )

\(mgz_{max}=mgz_1+\dfrac{1}{2}mv_1^2\Rightarrow z_{max}=z_1+\dfrac{z_1^2}{2g}=\dfrac{25^2}{2.10}=31,25\left(m\right)\)

b) Độ cao mà thế năng của vật bằng động năng : ( Bảo toàn cơ năng )

\(W_1=W_2\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^2=2mgh\Rightarrow h=15,625\left(m\right)\)

c) Vận tốc tại đó thế năng bằng 3 lần động năng : ( Đl Bảo toàn cơ năng )

( mk ko nhớ công thức ) 

a) Độ cao cực đại mà vật đạt được :

\(h_{max}=\dfrac{W}{0,5.10}=31,25\left(m\right)\)

b) \(W_t=W_đ\Rightarrow mgz=\dfrac{1}{2}mv^2\Rightarrow z=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{25^2}{2.10}=31,25\left(m\right)\)

c) Vận tốc mà thế năng bằng 3 lần động năng :

Khi thế năng bằng 3 lần động năng 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}W_t=W_đ\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}.mgz=\dfrac{1}{2}mv^2\)

\(\Rightarrow mv^2=\dfrac{2}{3}mgz\)

Làm tiếp :

\(\Rightarrow mv^2=\dfrac{2}{3}.0,5.10.31,25=\dfrac{625}{6}\)

\(\Rightarrow v^2=\dfrac{625}{6}.2=\dfrac{625}{3}\)

\(\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{625}{3}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{3}\approx14,4338\left(\dfrac{m}{s}\right)\)

Chọn mặt đất làm gốc thế năng. Gọi A là vị trí vật được ném lên.

Cơ năng của vật tại A là \(w_A=w_{t_A}+w_{đ_A}=mgh_A+\dfrac{1}{2}mv_A^2\) \(=10.10.m+\dfrac{1}{2}.20^2.m\) \(=300m\left(J\right)\)

a) Gọi B là vị trí mà động năng bằng 3 lần thế năng. Ta có \(w_{đ_B}=3w_{t_B}\Rightarrow4w_{t_B}=w_B=300m\) \(\Rightarrow4mgh_B=300m\) \(\Rightarrow h_B=7,5\left(m\right)\)

Vậy tại vị trí vật cao 7,5m so với mặt đất thì động năng bằng 3 lần thế năng. Đồng thời \(w_{đ_B}=3w_{t_B}\Rightarrow w_{t_B}=\dfrac{1}{3}w_{đ_B}\)\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}w_{đ_B}=w_B=300m\) \(\Rightarrow\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}mv_B^2=300m\) \(\Rightarrow v_B=15\sqrt{2}\approx21,213\left(m/s\right)\)

Vậy vận tốc của vật khi đó xấp xỉ \(21,213m/s\).

b) Gọi C là vị trí vật chạm đất, khi đó \(w_{t_C}=0\) nên \(w_{đ_C}=w_C=300m\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_C^2=300m\) \(\Rightarrow v_C=10\sqrt{6}\approx24,495\left(m/s\right)\)

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất xấp xỉ \(24,495m/s\).

Chọn mốc thế năng ở mặt đất :

Cơ năng sau khi ném vật : \(W=\dfrac{1}{2}mv^2+mgh=\dfrac{1}{2}m.\left(20\right)^2+m.10.10=300m\) (J)

lại có \(W_đ=3W_t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}W=4W_t\left(1\right)\\W=\dfrac{4}{3}W_đ\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Theo (1) ta có 300m = 4mgh₁

<=> h₁ = \(\dfrac{300m}{4mg}=75\left(m\right)\)

Theo (2) ta có : \(300m=\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}mv_1^2\)

\(\Leftrightarrow v_1=\sqrt{\dfrac{300m}{\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}m}}=15\sqrt{2}\left(m/s\right)\)

Vật chạm đất thì \(W=W_đ\)

\(\Rightarrow300m=\dfrac{1}{2}m.v_{max}^2\)

\(\Rightarrow v_{max}=10\sqrt{6}\) (m/s)