Chứng minh
a)\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)\(\left(n\in N\right)\)
b)\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}=-\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)\)
Những câu hỏi liên quan
a/Chứng minh rằng \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b/Áp dụng chứng minh
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{7\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}+...+\frac{1}{4003\left(\sqrt{2001}+\sqrt{2002}\right)}<\frac{2001}{2003}\)
Chứng minh
a)\(\sqrt{n+1}\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)(n\(\in\)N)
b)\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}=-\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(n\in N\right)\)
Xét dạng tổng quát có: \(\frac{1}{\sqrt{n+1}\left(n+1\right)+n\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)-\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)
\(< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}-\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
.....
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cộng vế theo vế =>\(VT< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(ĐPCM\right)\)
\(N=\left(1-a\right)^2:\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)+1\)
a) rút gọn N
b) Tính N tại a=9
c) Tìm a để /N/=N
a) Chứng minh: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với n \(\in\) N*)
b) Áp dụng cho S=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Chứng minh 18<S<19
Giúp em với mấy anh chị ơiiiiiiiiiiii
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
a, Cm công thức
\(\forall n\ge1\) ta có \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, áp dụng tính
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)
chỗ \(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\)phải là \(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)
a, Ta có
\(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n+1}}< \frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}\)
mà \(\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, áp dụng bđt ta có
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)
\(=\frac{1}{\left(2\cdot1+1\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\left(2\cdot2+1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2\cdot2011+1\right)\left(\sqrt{2011}-\sqrt{2012}\right)}\)
\(< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\)..
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2012}}=\frac{\sqrt{2012}-1}{\sqrt{2012}}=\frac{2011}{\sqrt{2012}\cdot\left(\sqrt{2012}+1\right)}\)
\(=\frac{2011}{2012+\sqrt{2012}}< \frac{2011}{2013}\)
Bạn Nhật sai đề bài
Câu. a. Dòng thứ nhất xuống dòng thứ 2. Em chú ý mẫu số sai rồi.
b. Công thức có số 2 trên tử số. Mà em ko đưa số 2 vào thì sao áp dụng dc công thức?
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2. Chứng minh: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\left(1+c\right)\right)}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2. Chứng minh: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Thu Trà - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Đúng 0
Bình luận (0)
1) Chứng minh: \(2\sqrt{n}-3< \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\forall n\ge2\)
2) Thu gọn: \(A=5\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\)