a: \(A\ge1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=3/4

Phần 1:
Ta thấy: \(B=x^2+2xy+y^2+16=\left(x+y\right)^2+16\)
Do \(\left(x+y\right)^2\ge0\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+16\ge16\) ( mọi x và y )
=> GTNN của biểu thức \(B=\left(x+y\right)^2+16\) bằng 16 khi và chỉ khi:
\(\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x+y=0\)
\(\Rightarrow x=-y\)
Vậy GTNN của biểu thức \(B=x^2+2xy+y^2+16\) bằng 16 khi và chỉ khi \(x=-y\).

Phần 2:
Ta thấy: \(C=9x^2+6x+y^2+16=9x^2+6x+1+y^2+15=\left(3x+1\right)^2+y^2+15\)
Do \(\left(3x+1\right)^2\ge0\) ( mọi x )
\(y^2\ge0\) ( mọi y )
\(\Rightarrow\left(3x+1\right)^2+y^2\ge0\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow\left(3x+1\right)^2+y^2+15\ge15\) ( mọi x và y )
=> GTNN của \(C=\left(3x+1\right)^2+y^2+15\) bằng 15 khi và chỉ khi:
\(\left(3x+1\right)^2+y^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(3x+1\right)^2=0\\y^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+1=0\\y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{3}\\y=0\end{cases}}\)
Vậy GTNN của biểu thức \(C=9x^2+6x+y^2+16\) bằng 15 khi và chỉ khi \(x=\frac{-1}{3}\) ; \(y=0\).

Bài 1:

a. $M=x^2+4x+9=(x^2+4x+4)+5=(x+2)^2+5\geq 0+5=5$ do $(x+2)^2\geq 0$ với mọi $x$
Vậy $M_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại $x+2=0\Leftrightarrow x=-2$
b.

$N=x^2-20x+101=(x^2-20x+10^2)+1=(x-10)^2+1\geq 1$ do $(x-10)^2\geq 0$ với mọi $x$

Vậy $N_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $x-10=0\Leftrightarrow x=10$

Bài 2:

a.

$C=-y^2+6y-15$
$-C=y^2-6y+15=(y^2-6y+9)+6=(y-3)^2+6\geq 6$ (do $(y-3)^2\geq 0$ với mọi $y$)

$\Rightarrow C\leq -6$

Vậy $C_{\max}=-6$. Giá trị này đạt tại $y-3=0\Leftrightarrow y=3$
b.

$-B=x^2-9x+12=(x^2-9x+4,5^2)-8,25=(x-4,5)^2-8,25\geq -8,25$ do $(x-4,5)^2\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow B\leq 8,25$
Vậy $B_{\max}=8,25$. Giá trị này đạt tại $x-4,5=0\Leftrightarrow x=4,5$

Đề đúng: \(C=x^2+4y^2+2x-4y-4xy+2011\)

\(C=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(2x-4y\right)+1+2010\)

\(C=\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+1+2010\)

\(C=\left(x-2y+1\right)^2+2010\ge2010\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-2y+1\right)^2=0\)

=> Ta có vô số cặp (x;y) thỏa mãn ví dụ như:

(1;1) ; (-1;0) ; (3;2) ; ...

C = x² + 4y² + 2x - 4y - 4xy + 2011 ( đúng chưa :v )

C = [ ( x² - 4xy + 4y² ) + 2x - 4y + 1 ] + 2010

C = [ ( x - 2y )² + 2( x - 2y ) + 1 ] + 2010

C = [ ( x - 2y ) + 1 ]² + 2010

C = ( x - 2y + 1 )² + 2010 ≥ 2010 ∀ x,y 

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2y + 1 = 0

                            <=> x - 2y = -1

                            <=> x = 2y - 1

=> MinC = 2011 <=> x = 2y - 1

Ta có:

\(A=x^4+2x^3+9x^2+8x+27\)

\(\Leftrightarrow A=x^4+x^2+16+2x^3+8x+8x^2+11\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x^2+x+4\right)^2+11\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{4}\right)^2+11\)

\(\Leftrightarrow A=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\right]^2+11\)

\(\ge\left(\dfrac{15}{4}\right)^2+11=\dfrac{401}{16}\)

Vậy \(A_{min}=\dfrac{401}{16}\), đạt được khi \(x+\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)