CHO TAM GIÁC ABC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN TÂM O. CÁC ĐƯỜNG CAO AD,BE,CF CẮT ĐƯỜNG TRÒN TÂM O LẦN LƯỢT TẠI M,N,K. CMR:\(\frac{AM}{AD}\)+\(\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=4\)
cho tam giác abc có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm o.các đường cao ad, be, cr cắt đường tròn tâm o tại m,n,k. CMR: am/ad+bn/be+ck/cf=4
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF cắt (O) tại M,N,K.
CMR: \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=4\)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O đường cao AD,BE,CF cắt đường tròn theo thứ tự ở M , N , K . CMR : AM/AD + BN/BE + CK/CF =4
a) Ta thấy \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )
Vậy nên \(\widebat{KB}=\widebat{MB}\), suy ra \(\widehat{KCB}=\widehat{MCB}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Gọi giao điểm của ba đường cao là H.
Xét tam giác MHC có CD là đường cao đồng thời là phân giác nên tam giác MHC cân tại C.
Vậy thì CD cũng là trung tuyến hay DM = DH.
Ta có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{DH}{AD}\)
Tương tự \(\frac{BN}{BE}=1+\frac{HE}{BE};\frac{CK}{CF}=1+\frac{FH}{CF}\)
Ta có \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)
Lại thấy rằng \(\frac{DH}{AD}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HE}{BE}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Vậy thì \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+1=4\)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF cắt (O) theo thứ tự M,N,K. CMR
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=4\)
cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.và cắt đường tròn tại các điểm theo thứ tự là :M,N,P. chứng minh: AM/AD + BN/BE + CP/CF = 4
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Ba đường cao AD , BE,,CF cắt nhau tại H . kéo dài AO cắt đường tròn tâm O tại M ,AD cắt đường tròn tâm O tại K . cmr
a) MK//BC
b) DH=DK
c) Gọi I là trung điểm của BC. Cmr H,M,I thẳng hàng
d) AD/HD+BE/HE+CF/HF≥9
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn tại M, N, P. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác BFEC và AEDB nội tiếp.
2) AE.AC = AF.AB.
3) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD.
1: Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AEDB có
\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
Do đó: AEDB là tứ giác nội tiếp
2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: AE/AF=AB/AC
hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn(O).
Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. CMR:
a/. Các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp
b/ AD.BC = BE AC
c/. CMR BHM cân