Đáp án  C.

Một trong các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x+\sin x\) là hàm số \(\sin x-\cos x\) . Từ định lí nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a,b) thì trên khoảng đó nó có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên khoảng (a,b) là sai khác nhau một hằng số cộng. suy ra mọi nguyên hàm số đã cho đều có dạng \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+C\), trong đó C là hằng số nào đó. 

Để xác định hằng số C ta sử dụng điều kiện F(0)=1

Từ điều kiện này và biểu thức F(x) ta có :

\(\sin0-\cos0+C=1\Rightarrow C=1+\cos0=2\)

Do đó hàm số \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+2\) là nguyên hàm cần tìm

Chọn D

Biến đổi : 

\(5\sin x=a\left(2\sin x-\cos x+1\right)+b\left(2\cos x+\sin x\right)+c\)

         = \(\left(2a+b\right)\sin x+\left(2b-a\right)\cos x+a+c\)

Đồng nhất hệ số hai tử số : 

\(\begin{cases}2a+b=5\\2b-a=0\\a+c=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}a=2\\b=1\\c=-2\end{cases}\)

Khi đó :

\(f\left(x\right)=\frac{2\left(2\sin x-\cos x+1\right)+\left(2\cos x+\sin x\right)-2}{2\sin x-\cos x+1}\)

= \(2+\frac{2\cos x+\sin x}{2\sin x-\cos x+1}-\frac{2}{2\sin x-\cos x+1}\)

Do vậy : 

\(I=2\int dx+\int\frac{\left(2\cos x+\sin x\right)dx}{2\sin x-\cos x+1}-2\int\frac{dx}{2\sin x-\cos x+1}\)

=\(2x+\ln\left|2\sin x-\cos x+1\right|-2J+C\)

Với 

\(J=\int\frac{dx}{2\sin x-\cos x+1}\)

Biến đổi :

\(4\sin^2x+1=5\sin^2x+\cos^2x=\left(a\sin x+b\cos x\right)\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)+c\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\)

\(=\left(a\sqrt{3}+c\right)\sin^2x+\left(a+b\sqrt{3}\right)\sin x.\cos x+\left(b+c\right)\cos^2x\)

Đồng nhấtheej số hai tử số 

\(\begin{cases}a\sqrt{3}+c=5\\a+b\sqrt{3}=0\\b+c=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=-1\\c=2\end{cases}\)

Đặt \(f_1\left(x\right)=3e^{2x+1};f_2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\) . Khi đó \(f\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\)

- Tìm một nguyên hàm của \(f_1\left(x\right)=3e^{2x+1}\) vì nguyên hàm của hàm số \(e^x\) là hàm số \(e^x\) nên theo quy tắc : "Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì \(F\left(y\left(t\right)\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(y\left(t\right)\right).y't\)                                           trong đó ta giả thiết rằng các hàm số \(f\left(y\left(t\right)\right).y't\)                                                        và \(F\left(y\left(t\right)\right)\) đều được xác định. Đặc biệt là nếu \(y\left(t\right)=at+b,a\ne0\) vafneeus F(x) là một nguyên hàm đối với hàm \(f\left(x\right)\) thì \(\frac{1}{a}F\left(at+b\right)\) là một nguyên hàm đối với hàm số \(f\left(at+b\right)\)" (a)

Nguyên hàm của hàm số \(e^{2x+1}\) là \(F_1\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{2x+1}\)

Theo quy tắc "Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì \(kF\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(kf\left(x\right)\)" (b) 

một nguyên hàm của \(3e^{2x+1}\) là hàm số \(3.\frac{1}{2}e^{2x+1}=\frac{3}{2}e^{2x+1}\)

Tìm một nguyên hàm của \(f_2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\). Vì hàm số \(\tan x\) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{\cos^2x}\) nên theo quy tắc (a) ta có \(\frac{4}{\Pi}\tan\frac{\Pi x}{4}\) là nguyên hàm của \(\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\)

Bây giờ áp dụng  quy tắc "Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì hàm số F(x) + G (x) là môt nguyên hàm của hàm số f(x)+g(x)" (c)

ta thu được \(\frac{3}{2}e^{2x+1}+\frac{4}{\Pi}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\)

Mọi nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) được biểu diễn bởi công thức :

\(F\left(x\right)=\frac{3}{2}e^{2x+1}+\frac{4}{\Pi}\tan\left(\frac{\Pi x}{4}\right)+C\)

a) + Hàm số y = cos x có chu kì 2π.

Do đó: cos 2.(x + kπ) = cos (2x + k2π) = cos 2x.

⇒ Hàm số y = cos 2x cũng tuần hoàn với chu kì π.

Từ đó suy ra

b. y = f(x) = cos 2x

⇒ y’ = f’(x) = (cos 2x)’ = -(2x)’.sin 2x = -2.sin 2x.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = π/3 là:

c. Ta có: 1 – cos 2x = 2.sin2x ≥ 0.

Và 1 + cos22x > 0; ∀ x

⇒  luôn xác định với mọi x ∈ R.