\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\mx-y=4\end{matrix}\right.\)
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) trong đó x,y trái dấu
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x=|y|
Cho hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\mx-y=4\end{matrix}\right.\)
a, giải hệ pt với m = 2
b, Tìm m đề hệ pt có nghiệm duy nhất ( x, y ) trong đó x, y trái dấu
c, Tìm m đề hệ pt có nghiệm duy nhất ( x, y ) thỏa mãn x = / y /
b, \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\mx-y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\m\left(5+2y\right)-y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\5m+2my-y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\2my-y=4-5m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\y\left(2m-1\right)=4-5m\end{matrix}\right.\)
Hpt trên có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)
Khi đó ta có hpt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2.\dfrac{4-5m}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Vậy với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt trên có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Vì x, y trái dấu nên ta xét 2 trường hợp
Th1: x > 0; y < 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2m-1}>0\\\dfrac{4-5m}{2m-1}< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\\4-5m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{4}{5}\) (Thỏa mãn)
Th2: x < 0; y > 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2m-1}< 0\\\dfrac{4-5m}{2m-1}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1< 0\\4-5m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4}{5}< m< \dfrac{1}{2}\) (Vô lý)
Vậy m > \(\dfrac{4}{5}\) thì hpt có nghiệm duy nhất và thỏa mãn x, y trái dấu
c, Từ b ta có:
Với x \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Vì x = |y| \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{3}{2m-1}=\left|\dfrac{4-5m}{2m-1}\right|\)
Xét các trường hợp:
Th1: \(\dfrac{3}{2m-1}=\dfrac{4-5m}{2m-1}\)
\(\Leftrightarrow\) 3 = 4 - 5m (Vì m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\))
\(\Leftrightarrow\) 5m = 1
\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{1}{5}\) (TM)
Th2: \(\dfrac{3}{2m-1}=\dfrac{5m-4}{2m-1}\)
\(\Leftrightarrow\) 3 = 5m - 4 (Vì m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\))
\(\Leftrightarrow\) 5m = 7
\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{7}{5}\) (TM)
Vậy với m = \(\dfrac{1}{5}\); m = \(\dfrac{7}{5}\) thì hpt có nghiệm duy nhất và thỏa mãn x = |y|
Chúc bn học tốt!
Nguyễn Lê Phước Thịnh , Hồng Phúc , Nguyễn Thị Thuỳ Linh , Tan Thuy Hoang , Nguyễn Duy Khang , Nguyễn Trần Thành Đạt
cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=4\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)
tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > y > 0
Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$
$m(5-2y)+y=4$
$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$
Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$
Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$
$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$
$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$
$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$
$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$
$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)
$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$
Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$
Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$
$m(5-2y)+y=4$
$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$
Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$
Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$
$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$
$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$
$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$
$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$
$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)
$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$
Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\\\left(m-1\right)x-y=7\end{matrix}\right.\)
1. tìm m để hpt có nghiệm duy nhất mà x và y trái dấu
2. tìm m để hpt có nghiệm duy nhất mà x và y là số nguyên
1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{m-1}\ne\dfrac{1}{-1}\ne-1\)
=>\(\dfrac{m+m-1}{m-1}\ne0\)
=>\(\dfrac{2m-1}{m-1}\ne0\)
=>\(m\notin\left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\)(1)
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\\\left(m-1\right)x-y=7\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}mx+\left(m-1\right)x=3+7\\mx+y=3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=10\\mx+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10}{2m-1}\\y=3-mx=3-\dfrac{10m}{2m-1}=\dfrac{6m-3-10m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10}{2m-1}\\y=\dfrac{-4m-3}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Để x và y trái dấu thì x*y<0
=>\(\dfrac{10}{2m-1}\cdot\dfrac{-4m-3}{2m-1}< 0\)
=>\(\dfrac{10\left(4m+3\right)}{\left(2m-1\right)^2}>0\)
=>4m+3>0
=>m>-3/4
Kết hợp (1), ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{3}{4}\\m\notin\left\{\dfrac{1}{2};1\right\}\end{matrix}\right.\)
2: Để x,y là số nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}10⋮2m-1\\-4m-3⋮2m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2m-1\in\left\{1;-1;2;-2;5;-5;10;-10\right\}\\-4m+2-5⋮2m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(2m-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
=>\(2m\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)
=>\(m\in\left\{1;0;3;-2\right\}\)
Kết hợp (1), ta được: \(m\in\left\{0;3;-2\right\}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\mx+y=4\end{matrix}\right.\)
tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) mà x,y trái dấu
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{2}{1}=2\)
=>\(m\ne\dfrac{1}{2}\)(1)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\mx+y=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\2mx+2y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2mx-x=3\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=3\\2y=5-x\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{-1}{2}\cdot\dfrac{3}{2m-1}+\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{-3}{2\left(2m-1\right)}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{-3+5\left(2m-1\right)}{2\left(2m-1\right)}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{10m-8}{2\left(2m-1\right)}=\dfrac{5m-4}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Để x,y trái dấu thì xy<0
=>\(\dfrac{3\left(5m-4\right)}{\left(2m-1\right)^2}< 0\)
=>5m-4<0
=>5m<4
=>\(m< \dfrac{4}{5}\)
Kết hợp (1), ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{4}{5}\\m\ne\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\mx+y=5\end{matrix}\right.\)
tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x>0, y<0
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{2}{m}\ne\dfrac{-1}{1}=-1\)
=>\(m\ne-2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\mx+y=5\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+mx+y=6\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(m+2\right)=6\\y=2x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{m+2}\\y=2\cdot\dfrac{6}{m+2}-1=\dfrac{12}{m+2}-1=\dfrac{12-m-2}{m+2}=\dfrac{-m+10}{m+2}\end{matrix}\right.\)
Để x>0 và y<0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{m+2}>0\\\dfrac{-m+10}{m+2}< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\\dfrac{m-10}{m+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\\left[{}\begin{matrix}m>10\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
=>m>10
Cho hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=1\\mx+y=1\end{matrix}\right.\)
tìm m để nghiệm có hệ duy nhất thỏa mãn x+2y=5.
Làm rõ bước
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\mx-y=2m\end{matrix}\right.\)
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
2. Tìm m để hệ thỏa mãn x+2y=2
1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{1}{-1}=-1\)
=>\(m\ne-1\)
2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\mx-y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+mx-y=1+2m\\x+y=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(m+1\right)=2m+1\\x+y=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m+1}\\y=1-x=1-\dfrac{2m+1}{m+1}=\dfrac{m+1-2m-1}{m+1}=-\dfrac{m}{m+1}\end{matrix}\right.\)
x+2y=2
=>\(\dfrac{2m+1}{m+1}+\dfrac{-2m}{m+1}=2\)
=>\(\dfrac{1}{m+1}=2\)
=>\(m+1=\dfrac{1}{2}\)
=>\(m=-\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\)
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\x+\left(m+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+2y>0
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-y\\m-y+ym+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-y\\ym=1-m\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-\dfrac{1-m}{m}=\dfrac{m^2+m-1}{m}\\y=\dfrac{1-m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(x+2y>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{m^2+m-1}{m}+\dfrac{2-2m}{m}>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{m^2-m+1}{m}>0\)
Mà \(m^2-m+1=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
Vậy \(m>0\) thỏa đề
Cho hệ phương trình \(\left[{}\begin{matrix}x+y=m\\x+\left(m+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+2y>0