P≥ \(\sqrt{3}\) nha

Ta có
Từ gia thiết ta có

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

Do đó
=> S
Dễ thấy rằng S>0
Đặt x = ac+bd
=>S

Do đó S (đpcm)

Ta có : \(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=a^2d^2+b^2c^2-2abcd+a^2c^2+2abcd\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)

\(\Rightarrow S\ge ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)

\(\ge ac+bd+2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}\)

Đặt \(ac+bd=x\)

\(\Rightarrow S\ge x+2\sqrt{1+x^2}\)

\(\Leftrightarrow S^2\ge x^2+4\left(1+x^2\right)+4x\sqrt{1+x^2}=\left(\sqrt{1+x^2}+2x\right)^2+3\ge3\)

\(\Rightarrow S\ge\sqrt{3}\)

mà đề cho (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) thì phải liên tưởng đến (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) để đưa vào bất đẳng thức. Vậy phải xuất phát từ biểu thức này và biến đổi theo một cách nào đó cho nó xuất hiện giả thiết là : ad - bc = 1. Ở đây là thêm và bớt 2abcd 
Ta có: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd + 2abcd = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 
Thay: ad - bc = 1 => 1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) 
Áp dụng BĐT Cauchy: 
(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] 
=> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd 
Do đó chỉ cần CM: 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd ≥ √3 
<=> 2 √[1 + (ac + bd)^2] + ac + bd ≥ √3 
Đặt ac + bd = x và p = 2√(1 + x^2) + x 
Ta có IxI = √(x^2) < 2√(1 + x^2) ; mà IxI ≥ -x => p > 0 
Xét: p^2 = 4(1 + x)^2 + 4x√(1 + x^2) + x^2 = (1 + x^2) + 4x√(1 + x^2) + 4x^2 + 3 
= [√(1 + x^2) + 2x]^2 + 3 ≥ 3 => p^2 ≥ 3 => p ≥ √3 
=> S ≥ √3 
b/ Dấu đẳng thức xảy ra khi a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và √(1 + x^2) + 2x = 0 => x = -1/√3 
Khi đó có: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và ac + bd = -1/√3 và ad - bc = 1 
Theo biến đổi ở đầu bài thì (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 = 1 + 1/3 = 4/3 
Do đó: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2/√3 
Ta có: (a + c)^2 + (b + d)^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 + 2ac + 2bd = 2. 2/√3 + 2.(-1/√3) = 2/√3 
vậy: (a + c)^2 + (b + d)^2 = 2/√3

Học chi cho lắm cx bằng nhau à

ta có \(a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)d

=2(...................giống bên trên......................)=2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ac+2bd

=(a^2+2ac+c^2)+(b^2+2bd+d^2)+(a^2+2ad+d^2)+(b^2+2bc+c^2)-2ad-2bc

=(a+c)^2+(b+d)^2+(a+d)^2+(b+c)^2-2(ad-bc)

mà ad-bc=-1

đến dây bạn tự làm

toán ko có lời giải   mà người đăng câu hỏi này cx có  vấn đề thần kinh mong mn thông cảm 

người vít câu tl này là ng thông minh và đẹp trai

bạn xem ở đây

lm đc phần a là ra b, dùng dấu = xảy ra khi ...

mấy đứa con nít đi chỗ khác chơi

em ms hok lp 7 thui ak! sorry nha 2 năm nữa e giải cho!

Stella mới hc lp 5 thui

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $A$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)

Mà:
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=1+(ad+bc)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}\)

\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}+ad+bc\). Đặt $ad+bc=t$ thì: $A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t$.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((t^2+1)\left[(\frac{-1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\right]\geq (\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}\geq |\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|\)

\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t\geq 2|\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|+t\geq 2(\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})+t=\sqrt{3}\) (đpcm)

Giải:

\(S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)

\(\Leftrightarrow S=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac+ac+2bd-bd\)

\(\Leftrightarrow S=a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2+ac-bd\)

\(\Leftrightarrow S=\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bd+d^2\right)-\left(ac-bd\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\left(a-c\right)^2+\left(b+d\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow S\ge-1\)

\(\Leftrightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\sqrt{3}>1\right)\)

Vậy ...